50 ans du Rubik’s cube : est-il possible de le résoudre s’il est truqué ? | Café et théorèmes | Science

En 1974, le professeur d’architecture Erno Rubik a inventé un nouvel outil pour illustrer des concepts géométriques à ses étudiants de l’École des arts commerciaux de Budapest. Un demi-siècle plus tard, le Rubik’s cube est non seulement devenu l’un des jouets les plus vendus de l’histoire, mais il a également généré une culture derrière lui. Partout dans le monde il y a différents types de tournois Centré sur le cube, de nombreuses modifications de sa conception ont été développées, et il a même soulevé des questions intéressantes pour les chercheurs en mathématiques. Par exemple, si le jeu est triché en décollant certains autocollants et en les échangeant ou en démontant ses pièces et en les réassemblant, le problème peut-il quand même être résolu ?

Dans l’étude du Rubik’s cube, un domaine des mathématiques appelé théorie des groupes est utilisé. Ce langage nous permet de décrire de manière abstraite les mouvements du cube et de démontrer, par exemple, que le cube original peut toujours être résolu (c’est-à-dire en donnant à chaque face une seule couleur) en 20 mouvements ou moins, quelle que soit la disposition de départ. Mais que se passe-t-il si son design est un peu modifié ?

Pour répondre à cette question, on utilise le concept de configuration juridique, qui désigne tout état du Rubik’s cube pouvant être résolu. Tous peuvent être obtenus à partir du cube résolu, en concaténant des mouvements basés sur la rotation d’une face du cube de 90 degrés – il suffit d’inverser les étapes suivies pour le résoudre. Il existe au total 43 252 003 274 489 856 000 configurations juridiques et chacune d’elles est un élément d’un objet mathématique que nous appelons un groupe.

Dans cette perspective, la question précédente revient à vérifier si, en autorisant de nouveaux mouvements – comme, par exemple, l’échange de couleurs de morceaux de cube – de nouvelles configurations sont réellement créées, qui ne font pas partie de ce groupe. Et si, par conséquent, ils ne pouvaient être résolus ; ou oui : en trompant le cube, vous obtenez un autre élément du groupe, c’est-à-dire une configuration légale et résoluble.

Par exemple, si les 54 autocollants étaient retirés des pièces du cube et recollés aléatoirement, aurions-nous pu passer d’un défi compliqué à un défi impossible ? Les connaisseurs de cubes comprendront rapidement la réponse : les configurations légales de cubes respectent toujours certaines règles qu’il serait facile de briser en décollant les autocollants. Autrement dit, des états non juridiques « irrésolubles » peuvent être obtenus de cette manière.

Concrètement, dans les configurations juridiques, les différents types de pièces de cube suivent des règles de placement spécifiques. Les catégories de pièces sont : celles qui sont au centre ―appelées centres―, celles qui sont sur le bord ―bords― et, parmi ces dernières, celles qui sont sur les coins ―coins―. Dans tout le cube, les bords ont exactement deux couleurs différentes et les combinaisons sont impossibles, car les faces opposées ne partagent jamais de pièces.

Dans un cube classique, le blanc est opposé au jaune, le vert est opposé au bleu et l’orange est opposé au rouge. Par exemple, si le blanc est sur la face supérieure, le jaune sera sur la couche inférieure. C’est pour cette raison qu’il n’y a pas de bords blanc-jaune, vert-bleu ou orange-rouge. Les coins suivent une logique analogue et les centres doivent maintenir la même répartition que dans l’état résolu, puisqu’ils sont immobiles quant aux mouvements des faces.

Désormais, si lors de la modification du cube, on veille à ce que les couleurs des faces des pièces suivent ces règles – ce qui revient à démonter le cube, au lieu d’échanger des autocollants, puisque la coloration de chacun serait respectée. morceau–, une configuration est-elle atteinte qui, désormais, sera toujours possible de résoudre ? La réponse est toujours négative. En fait, parmi tous les cubes possibles ainsi modifiés – totalisant 519 024 039 293 878 272 000 nouvelles configurations – seul un sur 12 peut être résolu.

Pour effectuer ce calcul, un concept de théorie des groupes lié à la parité est utilisé. Chaque mouvement du Rubik’s cube – non seulement la rotation habituelle du jeu, mais aussi l’échange de pièces – peut être considéré comme une permutation des 20 pièces mobiles. Parmi eux, il existe un type particulier, appelé transposition, qui consiste à échanger deux éléments et à laisser le reste fixe. On dit que une permutation est paire si un nombre pair de transpositions sont nécessaires pour l’obtenir. Eh bien, alors, je vérifie juste un critère simplequi traite de la parité de permutation et d’autres concepts de base, il est possible de déterminer si une configuration est légale ou non.

En appliquant ce critère, il est possible d’identifier toutes les modifications possibles du cube, résultant de l’échange des pièces, qui ont une solution et d’arriver à l’énoncé précédent : 91,7% des cubes trompés ne peuvent jamais être résolus. La parité des permutations joue un rôle important non seulement dans le Rubik’s cube, mais aussi dans d’autres puzzles, comme le puzzle 15 ou dans des questions plus profondes comme la résolution d’équations algébriques.

Yago Antolin Il est professeur à Université Complutense de Madrid (UCM) et membre de ICMAT.

Silvia Centenera Elle est diplômée en mathématiques de UCM.

Agate Timon Elle est coordinatrice de l’Unité de Culture Mathématique du ICMAT.

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres aspects sociaux. et expressions culturelles et rappelons-nous ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes. »

Édition, traduction et coordination : Agate Timón García-Longoria. Elle est coordinatrice du Unité de Culture Mathématique de l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT)