Dans les années 1930, le mathématicien allemand Lothaire Collatz observé un phénomène curieux en expérimentant avec des nombres entiers. Cela semblait être une propriété simple, mais la preuve générale, qui permettrait d’affirmer que tous les nombres satisfont à cette propriété, lui échappait. Il a commencé à propager le problème à ses collègues, mais personne n’a pu le résoudre. En 1950, la ville de Cambridge dans le Massachusetts (USA) a accueilli le Congrès international des mathématiciens, le premier après la Seconde Guerre mondiale, et Collatz a profité de l’occasion pour partager le problème entre les participants. La popularité de l’énigme a grandi, en particulier aux États-Unis, où elle a captivé et vaincu des groupes entiers de chercheurs. Cela a déclenché une blague récurrente selon laquelle le problème, qui est devenu connu sous le nom de Conjecture de Collatz, faisait partie d’un complot visant à retarder la recherche mathématique américaine. L’un des principaux experts sur la question, Jeffrey Lagarias, compte que le célèbre mathématicien Paul Erdős a déclaré que « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ». Cependant, il y a quelques mois, Terence Tao a contesté cette affirmation, réalisant la première percée majeure depuis des décennies.
La formulation de la conjecture est très simple. Étant donné un entier positif X soit, l’opération suivante (souvent appelée fonction C): et X es par se divide entre 2; si X est impair, multipliez par 3 et ajoutez 1. Le résultat est un nouveau nombre, C(X). Cette même opération peut être répétée avec C(X), obtenir un autre numéro C(C(X)), et ainsi de suite. Par exemple, en commençant par le nombre 12, en appliquant ce processus, les nombres 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, etc. sont obtenus. La conjecture de Collatz dit que quel que soit le nombre X initiale, après un nombre fini de répétitions de l’opération, on atteint 1. Il existe plusieurs sites Web où vous pouvez essayer de deviner.
Jusqu’à présent, seuls des résultats partiels ont été obtenus qui soutiennent la conjecture
Itérations de la fonction C peut être imaginé comme un processus dans lequel chaque nombre entier X se déplace comme une particule dans un système physique : à l’instant initial 0 le nombre X c’est réglé; à l’instant 1, X a déménagé à C(X); au temps 2, il est passé à C(C(X)), etc. chaque numéro X a sa propre trajectoiredonné par son ensemble de valeurs successives X, C(X)C(C(X)), etc. La difficulté de la conjecture est que, bien que la fonction C Faites très simple, les trajectoires peuvent être très différentes d’un nombre à l’autre, et en particulier elles peuvent être très erratiques et mettre un temps long ou très court pour atteindre 1. Des dynamiques aussi complexes rendent le problème encore résistant à tous les outils et connus technique d’analyse.
Jusqu’à présent, seuls des résultats partiels ont été obtenus qui soutiennent la conjecture. Par exemple, il a été vérifié à l’aide d’ordinateurs que la conjecture est vraie pour tout entier inférieur à 10.18. Ces progrès peuvent être suivis dans ce lien. De plus, des théorèmes ont été prouvés qui indiquent que la conjecture est “presque vraie” pour “presque tous” les entiers. Chaque énoncé de ce type donne un sens précis à ce que l’on entend par « presque certain » et « presque tout ». Parmi ces résultats, il se distingue un théorème démontré par le mathématicien Riho Terras en 1976. Dans son travail, Terras considère l’ensemble formé par les nombres positifs X qui ont la propriété que dans leur trajectoire il y a un nombre inférieur à X. si un nombre X est dans cet ensemble, alors la conjecture est “presque vraie” pour C’est nombrepuisque sa trajectoire doit passer sous X pour arriver à 1. Le théorème de Terras dit que l’ensemble en question a densité asymptotique égal à 1. Autrement dit, le rapport des nombres entiers entre 1 et N qui sont dans l’ensemble tend vers 1 quand N tend vers l’infini, ce qui signifie que “presque tous” les entiers satisfont la propriété indiquée.
Des relations sont connues entre la conjecture et plusieurs domaines mathématiques
Après des décennies sans avancées majeures de ce type, en septembre 2019 le mathématicien Terence Tao (Médaille Fields en 2006) a publié un nouveau résultat important. Dans cet ouvrage, le sens de “presque tous” intervient aussi avec une certaine notion de densité d’ensembles (la densité logarithmique), mais le sens de “presque certain” est un peu plus fort que celui de Terras. Faites partie de n’importe quelle fonction F(X) qui tend vers l’infini lorsque X tend vers l’infini. Un exemple évident est F(X)=xmais il existe d’autres exemples qui croissent beaucoup plus lentement avec l’augmentation de la valeur de Xcomme la fonction logarithmique F(X)=journal(X). pour toute fonction F de ce type, avec une croissance aussi lent que nous voulonsTao a montré que pour presque chaque nombre Xil y a un certain nombre dans sa trajectoire qui n’est pas seulement inférieur à X (comme indiqué par le théorème de Terras), mais est inférieur à F(X). De cette manière, le théorème garantit que la trajectoire de presque tous les nombres X passe par une certaine valeur beaucoup plus petit que X. Bien que cela ne prouve toujours pas que toutes les trajectoires doivent aller vers 1, le résultat est une avancée marquée vers la conjecture.
Ce travail de Tao est aussi intéressant pour les liens qu’il établit entre le problème et le domaine des équations aux dérivées partielles, donnant ainsi un nouvel échantillon des surprenantes ramifications de la conjecture de Collatz. Cette richesse est l’un des aspects attractifs du problème : des relations sont connues entre la conjecture et plusieurs domaines mathématiques autres que la théorie des nombres, tels que la théorie du calcul, la combinatoire et la théorie des systèmes dynamiques.
Pablo Candéla Il est professeur à l’Université autonome de Madrid et membre de l’Institut des sciences mathématiques.
Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres expressions sociales et culturelles et se souvenir de ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».
Édition et coordination : Agate Timon (ICMAT).
Vous pouvez suivre Matériel dans Facebook, Twitter, Instagram ou abonnez-vous ici à notre newsletter
