Mathématiques : L’arithmétique de l’horloge | Le jeu des sciences

Dans les commentaires de ces dernières semaines, et sur la base de certaines des questions soulevées récemment, le concept de congruence revient souvent.

En théorie des nombres (il y a aussi la congruence géométrique), deux nombres entiers sont dits congruents lorsqu’ils donnent le même reste lorsqu’ils sont divisés par un tiers, appelé module. Ainsi, 7 et 19 sont congruents par rapport à 4 car les deux, lorsqu’ils sont divisés par 4, donnent un reste de 3.

Certaines congruences sont évidentes ; par exemple, tous les nombres impairs sont congrus par rapport à 2, puisqu’ils donnent tous 1 comme reste lorsqu’ils sont divisés par 2 (que dire, en ce sens, des nombres se terminant par 1 ?).

La relation de congruence est exprimée par trois lignes parallèles et le module entre parenthèses :

une ≡ b (mod m)

signifie que a et b sont congrus par rapport à m.

La congruence peut également être définie comme la relation entre deux nombres entiers dont la différence est divisible par un tiers. Si a et b sont congrus par rapport à m, ils donnent le même reste, r, lorsqu’ils sont divisés par m, d’où :

a = pm + r

b = qm + r

où p et q sont des nombres entiers, et donc :

a – b = (p – q)m

alors a – b est divisible par m.

La congruence est la base de l’arithmétique modulaire, introduite par Gauss au début du XIXe siècle avec son livre Disquisitions arithmétiques. Et l’arithmétique modulaire est aussi appelée « arithmétique des horloges », car les horloges illustrent très graphiquement la relation d’équivalence des heures par rapport au module 12 : ainsi, 7 et 19 heures sont représentées sur les horloges classiques de la même manière : avec la grande aiguille à 12 et la mineure à 7.

montres problématiques

On ne peut pas parler d’arithmétique des horloges sans penser aux nombreux problèmes et énigmes (certains bien connus et d’autres non, certains faciles et d’autres moins) qui ont des horloges comme protagonistes. Ils constituent toute une section de problèmes d’ingéniosité, qui à leur tour peuvent être divisés en trois sous-sections : les horloges à aiguilles, les sabliers et les horloges numériques. Regardons quelques-uns du premier type:

Une horloge qui sonne, parmi celles qui sonnent les heures, met 6 secondes pour sonner 6. Combien de temps faudra-t-il pour sonner 12 ?

Près de chez moi, il y a deux horloges qui sonnent les heures à des vitesses différentes : l’une sonne trois fois en même temps que l’autre sonne deux. Ils sont synchronisés et commencent à sonner en même temps. À quelle heure l’horloge lente sonne-t-elle deux fois de plus lorsque la rapide a cessé de sonner ? (Basé sur de vrais événements, comme le dernier).

A 12 heures, les trois aiguilles de l’horloge — l’aiguille des heures, l’aiguille des minutes et la trotteuse — coïncident exactement (elles présentent les armes au Soleil, comme dirait Ramón Gómez de la Serna). Quand les trois se retrouveront-ils ?

Et comme point culminant, un classique bien connu, mais une mention obligatoire dans ce contexte. Classique et historique, car l’anecdote est vraie :

Un après-midi, Kant s’aperçut que l’horloge de sa maison s’était arrêtée. Peu de temps après, il se promenait pour rendre visite à un ami, chez qui il remarqua l’heure sur une horloge murale. Après avoir longuement conversé avec son ami, Kant rentra chez lui par le même chemin, marchant, comme d’habitude, d’un pas régulier et régulier qui n’avait pas changé depuis vingt ans. Il n’avait aucune idée du temps qu’il lui avait fallu pour faire le chemin du retour, puisque son ami avait récemment déménagé et que Kant n’avait pas encore chronométré le voyage. Cependant, dès qu’il est rentré chez lui, il a mis l’horloge à l’heure. Comme l’a fait?

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