Le faussaire de foudre | Le jeu des sciences

Le « singe oral » de la semaine dernière a suscité une discussion large et intéressante (voir les commentaires de Le système dièdre). C’est la représentation projective d’un solide de Steinmetz bicylindrique : l’intersection de deux cylindres de même rayon dont les axes sont perpendiculaires entre eux (il existe aussi un solide de Steinmetz tricylindrique, qui est l’intersection de trois cylindres de même rayon dont les axes sont perpendiculaires entre eux et coupés au même point). C’est une forme bien connue des architectes, car lorsque deux couloirs en demi-tonneau se croisent perpendiculairement, ils donnent naissance à une voûte, très courante dans les églises romanes, appelée voûte de cloître, qui est un bicylindre de Steinmetz disséqué.

Ces solides portent le nom du prolifique mathématicien et ingénieur allemand Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), qui en détermina le volume. Même s’il n’était pas le premier : le brillant Archimède, qui avait devancé de deux mille ans le calcul intégral, l’avait déjà déterminé. Pouvez-vous imiter Archimède et calculer le volume de l’intersection de deux cylindres de rayon unité sans recourir aux intégrales ? Et sa superficie ? Voyez-vous une relation avec le volume et l’aire de la sphère ?

Nous parlions récemment des applications des nombres complexes (par exemple, pour découvrir un trésor enfoui ou prouver le théorème de Napoléon), et il convient de noter que Steinmetz les a appliqués efficacement à l’étude des circuits à courant alternatif, et ses travaux, tant théoriques qu’expérimentaux , ils ont joué un rôle fondamental dans le remplacement du courant continu par le courant alternatif et donc dans le développement industriel des États-Unis à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. De plus, il a conçu un nouveau type de paratonnerre très sûr qui lui a valu le surnom de Lightning Forger.

Quant aux trois projections orthoédriques présentées la semaine dernière, il y a une erreur dans l’une d’entre elles (saurez-vous laquelle ?). Et c’est, en perspective, le solide qui donne lieu à une autre des projections :

Le théorème de Napoléon III

Et revenant au théorème de Napoléon, on se demandait à l’époque s’il pouvait être extrapolé à l’espace tridimensionnel (d’où Napoléon III : dans ce cas III signifie 3D). C’est-à-dire:

Si, étant donné un tétraèdre donné, on construit sur chacune de ses faces deux tétraèdres équièdres (à quatre faces égales), leurs barycentres respectifs (ainsi que les incentres et circoncentres) seront les sommets d’un nouveau tétraèdre qui, par analogie avec le triangle de Napoléon , nous l’appellerons le « tétraèdre napoléonien ». De quoi sera-t-il : régulier, semblable au tétraèdre initial… ? Et qu’arrive-t-il aux sommets singuliers des quatre tétraèdres, c’est-à-dire ceux opposés aux faces du tétraèdre initial ? Mais avant d’aborder le théorème complexe et multiforme (jeu de mots) de Napoléon III, une tâche plus simple :

Évidemment, si l’on part d’un tétraèdre régulier, les centres des quatre tétraèdres construits sur ses faces seront les sommets d’un tétraèdre napoléonien régulier. Pouvez-vous calculer son volume ? Tout comme le Petit Chaperon Rouge qui se rend chez sa grand-mère, on peut trouver la solution par le chemin le plus long ou par le plus court.

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