Combinatoire et autoréférence | Le jeu des sciences

Le destin caché d’un Équatorien, selon l’adage latin au nom de présage Si c’est vrai, comme cela a été suggéré la semaine dernière, il pourrait s’agir d’« aéronautique », une anagramme surprenante du mot « équatorien ». Et si l’on parle d’un prétendu message caché dans les lettres d’un nom, on ne peut manquer de mentionner la célèbre anagramme péjorative qu’André Breton a composée en réarrangeant les lettres de « Salvador Dalí » : Ávida Dollars. (Pourriez-vous composer d’autres anagrammes allusifs avec les lettres de certains noms célèbres ?)

Quant au désormais classique casse-tête logique autoréférentiel « Combien de lettres y a-t-il dans la bonne réponse à cette question ? », la réponse « officielle » et la plus simple est « Cinq ». D’ailleurs, dans un magazine dont je ne veux pas me souvenir du nom, ils ont publié cette énigme avec la réponse « quatre », ce qui donne lieu au méta-problème requis : à votre avis, quelle est la raison pour laquelle ils ont donné une réponse aussi absurde ? solution à une énigme ? largement connue ?

La réponse « Cinq » peut sembler unique, mais elle ne l’est pas, et notre commentateur régulier Bretos Bursó en donne deux autres tout aussi valables : « La moitié de quarante-deux » et « Double de sept ». Auxquels on pourrait en ajouter, dans le même sens, d’autres comme « Il y en a exactement vingt ». Et d’un autre côté, des réponses moins précises sont également valables mais pas incorrectes, comme « Moins de douze ».

L’autoréférence est une source inépuisable d’énigmes, de paradoxes et de surprises. Et quelques théorèmes, comme ceux de Gödel. Et aussi des « trucs » (entre guillemets, puisqu’il s’agit en réalité de jeux de logique), comme celui qui consiste à écrire quelque chose sur un morceau de papier et à dire à la victime : « J’ai écrit une déclaration qui peut être vraie ou non. . Si vous dites OUI et que ce que j’ai écrit est vrai, vous gagnez, si vous dites NON et que ce que j’ai écrit n’est pas vrai, vous gagnez aussi, sinon je gagne. Je vous parie dix contre un que je gagne. Et vous pourriez également parier cent ou mille contre un, car sur le papier il est écrit « Vous allez dire NON ».

Éléments regroupés et écolières en promenade

Et si l’autoréférence est une source inépuisable de surprises et de maux de tête, la combinatoire, notre autre thème récurrent de ces dernières semaines, ne l’est pas moins. A titre d’exemple, ce problème proposé par Ignacio Alonso :

De combien de manières sept éléments peuvent-ils être regroupés en sept groupes de trois éléments, s’ils doivent apparaître dans le même nombre de groupes et deux à deux seulement dans un seul groupe ?

Le problème des sept éléments rappelle, sous une forme simplifiée, le problème classique des écolières de Kirkman, proposé au XIXe siècle par le mathématicien anglais Thomas P. Kirkman (qui a apporté d’importantes contributions à l’analyse combinatoire et à la théorie des groupes) et popularisé par Édouard Lucas dans une de ses compilations de « récréations mathématiques ». Celui connu sous le nom de « problème des écolières » ressemble à ceci :

Quinze écolières se promènent tous les jours de la semaine, du lundi au dimanche, de manière ordonnée, formant cinq rangées de trois filles chacune. Comment planifient-ils leur placement chaque jour de la semaine pour qu’aucune paire d’écolières ne partage la même file d’attente plus d’une journée ?

Le problème n’est pas simple. Je suggère d’aborder d’abord celui des sept éléments, puis de passer, pour élever votre note, à celui des quinze écolières.

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