A quel moment de sa vidange une bière peut-elle être la plus stable ? | Le jeu des sciences

La probabilité qu’une personne déterminée fête son anniversaire la même semaine que vous est évidemment de 1/52 (si l’on entend par « la même semaine » le même intervalle du lundi au dimanche ; si l’on parle d’anniversaires non séparés de plus de sept jours, la probabilité est pratiquement double). Mais le fait que deux personnes sur un groupe de sept fêtent leur anniversaire la même semaine, comme cela était proposé dans le volet précédent, est bien plus élevé, contrairement à ce que suggère l’intuition. Et la probabilité que deux d’entre eux partagent le même signe du zodiaque est encore plus grande.

Comme dans d’autres problèmes de ce type, il est plus facile de calculer la probabilité que quelque chose ne se produise pas pour déterminer sa probabilité complémentaire. Concentrons-nous sur le cas zodiacal, avec la même approche que le cas hebdomadaire, mais avec des chiffres plus gérables. Commençons par numéroter arbitrairement les personnes de 1 à 7. La probabilité que 2 ne soit pas du même signe que 1 est de 11/12 ; la probabilité que 3 ne soit pas du même signe que 1 ou 2 est de 10/12…, et la probabilité que 7 ne soit pas du même signe que l’un des 6 autres est de 6/12. Par conséquent, la probabilité qu’aucune de ces correspondances ne se produise sera :

11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12 x 7/12 x 6/12 = 0,11 environ.

Ainsi, la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes du même signe sera complémentaire, soit près de 90 %. La prochaine fois, lors d’une petite réunion, deux magufas voient un signe du destin dans l’extraordinaire coïncidence de partager un signe du zodiaque, vous pourrez les agacer avec le verdict sans appel des mathématiques (ou pas).

En utilisant la même procédure, mais avec des opérations un peu plus lourdes, on peut vérifier que la probabilité que dans un groupe de 23 personnes il y en ait au moins deux qui fêtent leur anniversaire le même jour est légèrement supérieure à 50% (c’est ce qu’on appelle le « paradoxe de l’anniversaire » en raison de son résultat contre-intuitif).

Également dans le cas des cartes que l’on nomme lorsqu’on les met sur la table, il est plus facile de calculer la probabilité qu’aucune d’elles ne corresponde à son invocation, puisque pour chacune cette probabilité est de 39/40. Par conséquent, la probabilité qu’aucune carte ne corresponde à votre nom sera de 39/40 à la puissance 40, soit environ 0,363. Par conséquent, la probabilité qu’au moins une carte apparaisse lorsqu’elle est nommée est d’environ 1 – 0,363 = 0,637. Deux fois sur trois, au moins une des cartes apparaîtra « comme par magie » lorsque vous prononcerez son nom.

Un triangle isocèle et une canette de bière

L’intuition peut non seulement nous tromper en faisant paraître le probable improbable, mais aussi en estimant le niveau de difficulté d’un problème. Regardons quelques exemples (qui apparemment – apparemment – n’ont rien à voir les uns avec les autres) :

1. Étant donné un triangle isocèle dont les côtés égaux mesurent 10 cm, quelle doit être la longueur du troisième côté pour que son aire soit maximale ? Cela ressemble à un problème typique de maximum et de minimum qui est résolu en exprimant l’aire du triangle en fonction du troisième côté et en différenciant la fonction. Et cela semble être le cas parce que c’est le cas ; mais, avec un peu d’ingéniosité, on peut le résoudre sans recourir au calcul différentiel.

1. Dans une canette de bière pleine, si l’on la considère parfaitement cylindrique et homogène, le centre de gravité est le milieu de l’axe du cylindre. Au fur et à mesure qu’on la vide, le centre de gravité s’abaisse et l’équilibre de la canette sur son socle devient donc plus stable (comme pour compenser la perte présumée de stabilité du consommateur de son contenu). Mais, une fois complètement vide, le centre de gravité de la boîte revient au milieu de son axe, il doit donc y avoir un moment de vidange au cours duquel ledit centre atteint son point le plus bas, d’où il s’élève. encore. Si la canette mesure 20 cm de haut, pèse 45 g lorsqu’elle est vide et contient 360 g de bière une fois pleine, quelle quantité de bière y a-t-il dans la canette au moment où le centre de gravité est à la hauteur la plus basse ?

Une fois de plus, il semble y avoir un problème à résoudre par le calcul différentiel, et c’est ainsi que Walter B. Roberts, de l’Université de Princeton, l’a résolu lorsqu’il l’a posé lors d’un pique-nique ; mais ensuite (et probablement une fois que les vapeurs du contenu de la boîte se sont dissipées), il s’est rendu compte que le problème pouvait être facilement résolu sans fonctions ni dérivés.

Les deux problèmes précédents ne semblent pas du tout liés ; Cependant (et c’est un bon indice pour le second, plus difficile que le premier) tous deux nécessitent le même changement de perspective pour leur résolution. Il s’agit littéralement de les regarder sous un angle différent.

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