2024-09-02 19:00:00
Vous êtes-vous déjà demandé comment les mathématiciens peuvent être si sûrs de leurs conclusions et déductions ? Qu’est-ce qui vous donne la confiance d’affirmer, sans hésitation, que 2+2 fera toujours 4quoi Un triangle a 180 degrés dans ses angles intérieurs.?
La réponse à ces questions se trouve dans les fondements des mathématiques : axiomesdes règles de base qui nous indiquent comment assembler les différentes pièces qui donnent vie aux mathématiques. Grâce à eux, nous pouvons raisonner en toute sécurité et construire théories complexes qui nous aident à comprendre le monde, des modèles de la nature aux technologies que nous utilisons quotidiennement. Les axiomes sont le point de départ de tout, et même si on ne les voit pas toujours, leur importance est fondamentale.
UN SOCLE INVISIBLE
En termes simples, un axiome peut être défini comme un affirmation ce qui est accepté comme vrai sans avoir besoin de preuve. C’est comme un règle du jeu que chacun accepte de suivre pour jouer et, in fine, faire avancer la recherche, donnant naissance à de nouvelles idées, théories et démonstrations. Plus précisément, dans le contexte mathématique, les axiomes sont des propositions fondamentales qui n’ont pas besoin d’être prouvées, car elles sont considérées évident par eux-mêmes.
Pour se faire une idée, on peut considérer un axiome comme le point de départ d’une longue marche. Si vous souhaitez explorer une forêt, vous devez commencer quelque part. En mathématiques, les axiomes seraient identifiés comme ceux points de départ. Ils sont soigneusement choisis pour être simples, clairs et surtout cohérents. Sans eux, il serait impossible de construire théories mathématiques solidesparce que nous n’aurions pas de base fiable sur laquelle travailler.
Par exemple, l’un des axiomes les plus connus est l’axiome d’égalité, qui dit que si deux choses sont égales à une troisième, alors ces deux choses sont égales l’une à l’autre. Autrement dit, si a=c et b=cnous pouvons assurer que a=b. Cela peut paraître évident, mais c’est essentiel pour tout type de raisonnement logique.
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Les axiomes sont souvent comparés à des graines, car toute une théorie en germe, tout comme un arbre se développe à partir d’une graine.
LES FONDEMENTS DE TOUT
Les axiomes sont cruciaux car ils permettent aux mathématiciens de construire des structures logiques complexes avec une certitude absolue. Chaque théorèmechaque preuve mathématiqueest basé sur eux. En fait, si l’un de ces axiomes était faux ou incohérent, tout ce qui est construit sur cette base s’effondrerait immédiatement comme un château de cartes.
Un bon exemple de l’importance des axiomes se trouve dans la géométrie. Pendant des siècles, le géométrie euclidiennebasé sur les axiomes proposés par Euclide, était considéré comme la seule vérité sur l’espace et les formes. L’un des axiomes de Euclide Il a déclaré que, passant par un point situé à l’extérieur d’une ligne, une seule ligne parallèle à cette première ligne peut être tracée. Cependant, au XIXe siècle, des mathématiciens comme Gauss, Lobatchevski et Bolyaï Ils ont commencé à remettre en question cet axiome, et ainsi sont nées les géométries non euclidiennes, où plusieurs lignes parallèles ou aucune ne peuvent passer par un point extérieur à une ligne. Cette découverte a ouvert de nouvelles portes pour comprendre l’universprouvant que même les règles les plus fondamentales peuvent avoir des alternatives.
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La géométrie hyperbolique de Lobachevski propose des structures telles que le triangle hyperbolique dans l’image, où la somme des angles d’un triangle est toujours inférieure à 180º, remettant ainsi en question les axiomes imposés par Euclide.
Ainsi, les axiomes ne sont pas seulement importants pour ce qu’ils nous permettent de construire, mais aussi pour ce qu’ils nous permettent de construire. révéler sur la nature de connaissance et de logique. Ils nous montrent que notre compréhension du monde repose sur certains accords de baseet en modifiant ces arrangements, nous pouvons obtenir des perspectives radicalement différentes, comme cela s’est produit avec les géométries non euclidiennes.
SIMPLE MAIS PUISSANT
Mais quels sont certains de ces axiomes ? Sont-ils vraiment si basiques et évidents ? Nous vous disons certains d’entre eux: bien que cela semble évident, il est essentiel de les distinguer comme des vérités qui permettent de créer le reste des mathématiques à partir d’elles. En fin de compte, dans un une science si abstraite ainsi, sans axiomes établis, le progrès devient pratiquement impossible.
- Axiome d’addition: Si vous prenez un nombre naturel a et ajoutez zéro, le résultat est a. Autrement dit, a+0=a.
Cet axiome semble très simple, mais il est vital pour toutes les opérations arithmétiques. Sans cette règle, l’addition ne serait pas cohérente et nous ne pourrions pas nous appuyer sur les mathématiques de base.
Un autre exemple classique vient de la théorie des ensembles, une branche fondamentale des mathématiques modernes :
- Axiome de choix: Étant donné un ensemble d’ensembles non vides, il est possible de choisir un élément dans chaque ensemble, même si l’ensemble est infini.
De Fschwarzentruber – Travail personnel
Exemple de l’axiome du choix. Dans n’importe quel ensemble, il est possible de sélectionner certains de ses éléments.
Cet axiome, bien qu’apparemment simple, a des implications profondes et parfois controversées en mathématiques. C’est le fondement de nombreux théorèmes importants, mais cela a également conduit à des paradoxes et à des défis qui continuent de faire l’objet de débats parmi les mathématiciens.
Enfin, on peut retenir l’un des plus importants, l’axiome d’égalité évoqué ci-dessus :
- Axiome d’égalité: Si a=c et b=c alors a=b.
C’est l’un des piliers de la logique mathématique, indispensable à tout type de raisonnement déductif. Sans cet axiome, nous ne serions pas capables de tirer des conclusions logiques de base, comme celles que nous utilisons quotidiennement, sans même y penser.
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