Pour être moins mouillé sous la pluie, vaut-il mieux marcher ou courir ?

Il est dans la rue, le temps est incertain et il commence à pleuvoir, même s’il n’a pas de parapluie. Votre premier réflexe est de vous pencher en avant et d’accélérer le pas, non ? De cette façon, il pense qu’il sera le moins mouillé possible. Vous pouvez même accepter de vous mouiller à condition que cela ne dure pas aussi longtemps.

Ce comportement est-il justifié ? Est-il possible de construire un modèle pour répondre à cette question importante ? Concrètement, la quantité d’eau reçue dépend-elle de la vitesse ? Existe-t-il une vitesse telle que la quantité d’eau reçue pour aller d’un endroit à un autre soit minime ?

L’effet de l’inclinaison et de la vitesse

Pour répondre à ces questions, simplifions les choses, mais retenons les éléments importants de la situation. Considérons une pluie homogène tombant verticalement. Schématiquement, on peut considérer que le marcheur présente à la pluie des surfaces verticales (l’avant et l’arrière du corps) et des surfaces horizontales (la tête et les épaules).

Examinons d’abord les surfaces verticales. Plus nous marchons vite, plus de gouttes nous tomberont dessus. De notre point de vue, les gouttes tombent selon un angle, avec une composante de vitesse exactement égale à notre propre vitesse de marche : plus nous allons vite, plus nous recevons de gouttes. Mais plus nous marchons vite, moins il nous faudra de temps pour nous rendre d’un point à un autre. Les deux effets s’annulent donc : plus de gouttes par unité de temps, mais moins de temps de pluie.

Et que se passe-t-il avec les surfaces horizontales ? Lorsque le piéton est arrêté, la pluie ne tombe que sur ces surfaces. Lorsqu’on le regarde marcher, on voit qu’il reçoit des gouttes qui passaient auparavant devant lui, mais il ne reçoit plus de gouttes qui passent désormais derrière lui : au total, par unité de temps, il reçoit une quantité de pluie sur ces surfaces horizontales. cela est indépendant de sa vitesse de marche. Mais comme la durée totale du trajet diminue avec l’augmentation de la vitesse, la quantité d’eau reçue sur les surfaces horizontales sera moindre.

En fin de compte, c’est une bonne idée de marcher plus vite.

Le problème en termes mathématiques

Pour ceux qui aiment l’approche mathématique des choses, voici une explication qui saura vous satisfaire :

Notons par r le nombre de gouttes par unité de volume et par un sa vitesse verticale. Notons par Ch la surface horizontale de l’individu et donc Sv sa surface verticale.

Si nous restons immobiles, la pluie ne tombera que sur notre tête et nos épaules, c’est donc la quantité d’eau qui tombe à la surface. Ch.

Bien que la pluie tombe verticalement, du point de vue d’un marcheur se déplaçant à une vitesse varrive obliquement, dans une direction qui dépend de la vitesse v.

Pendant un intervalle de temps Tune goutte parcourt une distance à. Ainsi, toutes les gouttes qui se trouvent à une distance plus courte atteindront cette surface : ce sont les gouttes du cylindre de base. Ch et la hauteur àc’est à dire :

r*Sh*a*T

Comme nous l’avons vu, à mesure qu’elles avancent, les gouttes semblent se déplacer à une vitesse oblique, qui résulte de la composition de la vitesse un et la vitesse v. Le nombre de gouttes qui atteignent Ch ne change pas, car la vitesse v Il est horizontal et donc parallèle à Ch.

En revanche, le nombre de gouttelettes qui atteignent la surface Svqui était nul lorsque le marcheur était debout, est désormais égal au nombre de gouttes contenues dans un cylindre (horizontal) de base Sv et longueur Vermontpuisque cette longueur représente la distance horizontale parcourue par les gouttelettes pendant cet intervalle de temps.

Au total, le marcheur reçoit un nombre de gouttes donné par l’expression :

ρ*(Sh*a + Sv*v)*T

Il faut maintenant prendre en compte l’intervalle de temps pendant lequel le marcheur va se mouiller. Si vous devez parcourir une distance d à vitesse constante vl’intervalle de temps est donné par le quotient d/v (ce qui veut évidemment dire que v n’est pas nul). En transférant cela à l’expression précédente, nous obtenons le résultat final :

r(Sh*a + Sv*v)*d/v = ρ(S*a/v + Sv)*d

On obtient donc le double résultat suivant :

• D’une part, la quantité d’eau reçue sur la tête et les épaules est d’autant plus faible que la vitesse est élevée.

• En revanche, la quantité d’eau reçue dans la partie verticale du corps est indépendante de la vitesse, puisque la réduction du temps de trajet est exactement compensée par l’augmentation du nombre de gouttes reçues.

Moralité : c’est une bonne idée de se pencher et de courir. Mais attention : se pencher augmente la surface horizontale au gré de la pluie ; cette augmentation doit donc être compensée par l’augmentation de la vitesse.