Il est tentant de penser que notre ours de la semaine dernière est au pôle sud : vous marchez 10 kilomètres vers le nord le long d’un méridien, puis encore 10 kilomètres vers l’est le long d’un parallèle, et enfin encore 10 kilomètres vers le sud le long d’un autre méridien pour revenir au point de départ après décrivant un élégant triangle géodésique équilatéral. En fait, c’est la solution qui est souvent donnée dans les messages où cette énigme apparaît ; mais il y a un petit défaut : en Antarctique il n’y a pas d’ours et, donc, nous sommes dans l’Arctique, à 10 kilomètres au sud du parallèle, près du pôle nord, dont la longueur est de 10 kilomètres : nous l’avons atteint en marchant 10 kilomètres vers le nord, on le traverse complètement en allant 10 kilomètres vers l’est et on revient au point de départ en allant 10 kilomètres vers le sud. Pouvez-vous calculer la latitude du point de rencontre avec l’ours ? La solution est-elle unique ?
Le nombre de boulets de canon dans le deuxième problème est facile à calculer : dans la base il y en a 15², dans le deuxième niveau 14², dans le troisième 13² et ainsi de suite, donc au total il y aura :
15² + 14² + 13² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 3² + 2² + 1 = 1240
Il est clair que, pour tout nombre n de balles sur le côté inférieur de la pyramide, le nombre total de balles est la somme des carrés des n premiers nombres naturels ; mais si n est grand les opérations sont longues et fastidieuses, alors pouvez-vous trouver une formule simple qui donne la somme des carrés des n premiers nombres ?
Et, passant de l’arithmétique à la géométrie, pouvez-vous calculer la hauteur de la pyramide des balles, en supposant qu’il s’agit de sphères d’un diamètre de 20 cm ? Et en passant de la géométrie à la physique, pourquoi les balles/balles ne sortent-elles pas du périmètre de la base ?
En ce qui concerne les balances à bras inégaux, la règle de la double pesée améliore considérablement la situation des clients, mais permet toujours aux marchands tricheurs de voler un peu. En effet, supposons que les bras de la balance mesurent respectivement 9 et 10 pouces (ou toute autre unité) et que nous pesions 1 kilo de marchandise ; Si nous le plaçons sur le plateau du bras court et appelons x le poids nécessaire pour équilibrer la balance, nous aurons :
x/9 = 1/10, où x = 9/10 = 0,9
Si nous plaçons la marchandise sur l’autre plateau et appelons y le poids nécessaire pour l’équilibrer maintenant :
y/10 = 1/9, d’où y = 10/9 = 1 111…
La moyenne des deux pesées est de 2,011/2 = 1,0055, donc le marchand tricheur facture 5,5 grammes de plus pour chaque kilo de marchandise qu’il vend.
banquets hétérogènes
Et puisque nous avons revisité plusieurs casse-tête classiques, terminons par celui qui a mérité l’attention de mathématiciens aussi illustres que Luca Pacioli et Niccolò Fontana, plus connu sous le nom de Tartaglia, et un autre très similaire proposé par Euler :
Un banquet réunit 41 personnes, hommes, femmes et enfants, qui dépensent au total 40 drachmes. Comme les hommes mangent plus que les femmes et les adultes plus que les enfants, chaque homme paie 4 drachmes, chaque femme paie 3 drachmes et chaque enfant paie 4 deniers. Sachant qu’une drachme vaut 12 deniers, combien d’hommes, de femmes et d’enfants assistent au banquet ?
Et, maintenant sans enfants, la variante Euler :
Un groupe d’hommes, dont certains accompagnés de leurs femmes, ont dépensé 100 drachmes pour un banquet. Chaque homme payait 19 drachmes et chaque femme 13. Combien d’hommes et combien de femmes y avait-il ?
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