Billard dynamique | Le jeu scientifique

Concernant le problème du billard circulaire évoqué la semaine dernière, notre commentateur régulier Manuel Amorós propose la solution suivante :

« Considérons deux boules A et B situées dans le diamètre d’une table circulaire de rayon R. Les boules sont situées de part et d’autre du centre C (si elles sont du même côté, il n’y a que la solution triviale de rentrer le sens du diamètre). La balle A est à la distance a du centre et la balle B est à la distance b du centre.

Soit P le point où la balle A doit toucher la table. Appelant α l’angle que CP forme avec le diamètre :

cos α = R(ba)/(2ab)

Le problème n’a de solution non triviale que lorsque ledit cosinus est compris entre -1 et 1″.

Dans le cas de boules situées sur un diamètre et de part et d’autre du centre de la table, il n’est pas difficile de trouver graphiquement la solution à l’aide d’une règle et d’un compas (j’invite mes lecteurs avisés à la chercher). Mais si les boules de billard (ou la source lumineuse et l’objet à éclairer dans le miroir circulaire) ne sont pas sur le même diamètre, c’est-à-dire dans le problème non simplifié d’Alhacén, la construction avec une règle et un compas n’est pas possible, et lorsque en essayant de le résoudre algébriquement, nous trouvons une équation du quatrième degré. Et il est non seulement difficile de résoudre cette équation, mais même de la formuler, contrairement à l’apparente simplicité graphique du problème. À tel point qu’à la fin du XVe siècle, et après avoir cherché en vain une solution mathématique au problème d’Alhacén, Léonard de Vinci proposa une solution mécanique utilisant un ingénieux pantographe conçu ad hoc. Une solution algébrique n’a été trouvée qu’en 1997, par le mathématicien britannique Peter M. Neumann.

Stade Bunimovich et billard Sinaï

Puisque ces dernières semaines nous avons parlé de billard rectangulaire conventionnel et de billard circulaire (moins conventionnel mais qui existe aussi physiquement), il est inexcusable de parler de la somme des deux : le billard Bunimovich, conçu par le mathématicien et physicien russo-américain Leonid Bunimovich. , connu pour ses contributions importantes à l’étude des systèmes dynamiques, qui est un rectangle délimité par des demi-cercles sur deux côtés opposés (en raison de sa forme, il est également connu sous le nom de stade Bunimovich). Ce n’est pas un billard physique, mais un billard idéal, et les « boules » sont des particules ponctuelles avec un mouvement rectiligne et uniforme qui, lorsqu’elles entrent en collision avec le contour, se reflètent spéculairement sans perte d’énergie (collision élastique), c’est-à-dire en conservant toujours le même vitesse . C’est le plus connu des « billards dynamiques », qui sont des idéalisations du jeu de billard avec différents contours et éventuels obstacles internes. Son objectif est de modéliser différents types de mouvements de particules et d’étudier les systèmes hamiltoniens (mais c’est un autre article).

Un autre billard dynamique célèbre est celui conçu par Yákov Sinai, l’un des plus grands mathématiciens vivants (également russo-américain, comme Bunimovich) : c’est un carré avec un cercle à l’intérieur, dans lequel les particules rebondissent également de manière spéculaire, et sert entre autres choses. , pour modéliser le comportement d’un gaz parfait.

Pouvez-vous déterminer à quel point du périmètre carré la particule de la figure entrera en collision pour la quatrième fois avec le cercle central du billard du Sinaï ? Encore plus difficile : à quel point du cercle va-t-il entrer en collision pour la cinquième fois ? Le côté du carré mesure 29 cm, le diamètre du cercle central mesure 14 cm et les chiffres en bleu indiquent les mesures des segments correspondants.

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