Bougies énigmatiques | Le jeu des sciences

La probabilité que 3 cartes tirées au hasard dans le paquet Set — le jeu sur lequel nous nous sommes concentrés ces deux dernières semaines — forment un ensemble est simplement la probabilité que la troisième carte tirée soit la seule sur les 79 restantes qui puisse être ” rejoint” avec les deux premiers, quels qu’ils soient, soit 1/79.

Comme le jeu commence en plaçant 12 cartes au hasard sur la table, il y aura autant de départs possibles que de combinaisons de 81 éléments pris 12 par 12, soit 81.80.79…70/12 ! : environ 70,7 milliards.

Le nombre maximum de cartes qui peuvent être sur la table sans qu’aucun ensemble ne soit formé est de 20 ; bien qu’avec 19 ans, la probabilité que cela se produise est déjà inférieure à un sur un milliard. Comme une curieuse anecdote, cela a été démontré par le mathématicien italien Giuseppe Pellegrino en 1971avant la création du Set (mais c’est un autre article).

Et concernant le nombre moyen de sets auxquels on peut s’attendre avec 12 cartes sur la table, c’est ce que commente notre “utilisateur vedette” Francisco Montesinos : “Si nous avons 12 cartes tirées au hasard, pour former un set, la première peut être choisie parmi 12 façons, la deuxième sur 11 et la troisième ont une probabilité p = 10/79 d’être dans les dix restantes, donc le nombre probable de séries sera 12,11.(10/79)/6 = 220/79 = 2 , 78″.

Dans le cas du Set réduit, avec seulement 3 caractéristiques et 27 cartes, la probabilité que 3 cartes tirées au hasard forment un set sera de 1/25, puisque, pour toute paire initiale, une seule des 25 cartes restantes formera un ensemble avec eux deux.

Pas plus de cire que de brûlures

Avec les bougies pascales encore fumantes, il semble que le moment soit venu de soulever quelques problèmes concernant les bougies et leurs temps de combustion :

1. Lundi, j’ai allumé une bougie et je l’ai laissée allumée pendant une heure. Mardi, j’ai allumé deux bougies et je les ai laissées allumées pendant une heure. Mercredi, j’ai allumé trois bougies et je les ai laissées allumées pendant une heure, et ainsi de suite, en allumant une bougie de plus chaque jour et en les gardant allumées pendant une heure… jusqu’à aujourd’hui, où je n’ai plus de bougies. Sachant que chaque bougie met 4 heures à s’éteindre complètement, quel jour sommes-nous aujourd’hui ?

2. « Comme le temps passe vite ! dit tristement un vieil homme en rangeant les bougies de son dernier gâteau d’anniversaire. Avant-hier il y avait 77 bougies sur mon gâteau d’anniversaire et l’année prochaine il m’en faudra 3 de plus ». Quand est ton anniversaire?

3. Nous avons deux bougies cylindriques de la même hauteur et du même matériau, mais l’une légèrement plus épaisse que l’autre, de sorte que l’une prend 4 heures pour s’éteindre complètement et l’autre prend 5 heures. A un moment on les éteint toutes les deux en même temps et on s’aperçoit que la hauteur de la bougie la plus épaisse est quatre fois supérieure à celle de l’autre. Combien de temps cela a-t-il duré?

Et, enfin, une très similaire à la précédente tirée de la XXe Olympiade mathématique :

4. Nous avons placé deux bougies de hauteurs différentes dans le jardin. Le plus long mesure 28 cm et met 7 heures à brûler, tandis que le plus court, plus épais, met 11 heures à brûler. On les allume tous les deux en même temps quand la fête commence et au bout de 3 heures, quand les amis partent, on les éteint. À ce moment-là, ils sont tous les deux à la même hauteur. Quelle était la hauteur de la voile la plus courte à l’origine ?

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