Combien de chiffres doit-il avoir pour qu’un nombre soit infini ? | Les scientifiques réagissent | Science

Si nous avions un nombre spécifique de chiffres comme réponse, ce ne serait plus un nombre infini. Ce qui est vraiment important, quand on parle de nombres infinis, c’est qu’ils n’auront pas de fin. Par conséquent, si nous disons, par exemple, un million de chiffres, ce nombre est déjà fini car nous pouvons toujours penser à ajouter un chiffre supplémentaire. Mais la question est pleine de sens et a donné lieu à différents paradoxes tout au long de l’histoire des mathématiques.

La conception de l’infini est relativement nouvelle et est en partie due au système de numérotation dont nous disposons. Les civilisations comme l’égyptienne ou l’aztèque, avec des systèmes de numérotation non positionnels, n’ont jamais considéré les quantités supérieures à certaines valeurs, puisqu’elles n’avaient même pas de symboles qui leur permettaient de représenter lesdites quantités et, par conséquent, la même chose s’est produite avec le concept de infini. Cependant, l’infini sous-tend implicitement les systèmes positionnels tels que notre système numérique, et la manière dont les quantités sont représentées est essentielle pour produire une notion intuitive de l’infini. Au XXe siècle, le mathématicien allemand David Hilbert affirmait que l’infini ne se trouve pas dans la réalité. Il a soutenu qu’il n’est pas possible de diviser la matière indéfiniment et que l’infini peut être une notion nécessaire dans notre pensée, même s’il n’existe pas dans la réalité. La notion d’infini semble rigoureusement définie, mais elle continue d’être source de controverses et de paradoxes.

Actuellement, l’infini distingue deux significations en mathématiques. Le premier d’entre eux, l’infini pris comme ce qui n’a pas de fin, qui peut toujours continuer et qu’en mathématiques nous appelons l’infini potentiel. La seconde, l’infini considéré comme une totalité, un processus achevé avec ses limites atteintes, pensant l’ensemble de tous les nombres sans penser à chacun d’eux, ce que nous appelons l’infini actuel. Mais il faut savoir que certains des grands mathématiciens comme le Français Augustin Louis Cauchy ou l’Allemand Carl Friedrich Gauss ont nié l’existence de cet infini actuel.

Pour revenir à votre question, comme je l’ai dit, le système de numérotation actuel nous permet de réfléchir sur la notion d’infini. Dans ce cas, si nous avons un certain nombre de chiffres, quels qu’ils soient, nous pouvons toujours penser à un nombre avec un chiffre de plus, donc il n’est pas infini. Autrement dit, une telle valeur n’existe pas.

Mais ce n’est pas parce que ce nombre n’existe pas que l’infini n’existe pas. Si nous parlons de nombres, nous pouvons toujours ajouter un chiffre supplémentaire pour que ce ne soit pas infini. C’est par exemple la conception qu’avait Gauss. Mais depuis la fin du XIXème siècle, la conception a changé. A cette époque, l’infini actuel était proposé et consistait à définir l’infini comme une totalité, comme des limites. Cette étape permet de relier l’infini aux limites des fonctions ou des séquences. Par exemple, si nous pensons à une séquence avec des nombres pairs : 2, 4, 6, 8, 10… Cette séquence grandit indéfiniment et nous pouvons toujours penser à un nombre plus grand. La limite de cette séquence est infinie. Mais si l’on pense à une suite qui est : 1, 1/3, 1/4, 1/5… Cette suite est décroissante même si elle ne diminue pas jusqu’à moins l’infini, elle diminue vers 0, mais elle n’atteint jamais 0. Si nous pouvions mettre des chiffres infinis au dénominateur de cette fraction, nous atteindrions 0, mais nous ne l’atteignons qu’à la limite, c’est-à-dire que la suite a une limite de 0 lorsque le dénominateur tend vers l’infini.

Et avec les fonctions, c’est similaire ; Si avec des séquences on parle de nombres naturels, avec des fonctions on parlerait de nombres réels. Les nombres réels sont ceux qui nous permettent de représenter toutes les valeurs sur une ligne droite, une ligne infinie qui contient des nombres négatifs et positifs et comprend, entre autres, des nombres naturels. Ce sont ceux qui servent à compter les éléments : 1, 2, 3, 4… et ainsi de suite jusqu’à l’infini.

Monica Arnal Palacián Elle est diplômée en mathématiques et docteur en éducation. Professeur à l’Université de Saragosse, elle effectue des recherches sur l’enseignement des mathématiques.

Question envoyée par email parAnge Gaël Romero

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