De grands problèmes mathématiques résolus par des amateurs qui ont marqué l’histoire | Café et théorèmes | Science

En général, il existe de nombreuses preuves incorrectes de problèmes proposées par des mathématiciens amateurs ; Par exemple, tous les deux jours, quelqu’un prétend avoir un nouvel essai de la célèbre hypothèse de Riemann. Cela signifie que la plupart des mathématiciens professionnels ne prennent même pas la peine d’examiner les solutions présumées, afin de ne pas perdre de temps. Il existe cependant des exceptions à cette règle. Deux exemples en sont Marjorie Riceune femme au foyer de Californie (États-Unis), et Aubrey de Grey, un biologiste anglais, qui a résolu des problèmes mathématiques importants et difficiles.

En 1975, Rice a proposé quatre nouveaux types de pentagones convexes qui couvrent le plan, qui est lié à l’un des problèmes les plus anciens en géométrie. Les polygones convexes sont ceux dans lesquels, si l’on prend deux points de la figure, la ligne qui les relie se trouve également à l’intérieur de celle-ci. La première question est : quels polygones convexes permettent de couvrir tout le plan sans chevauchements ni espaces vides ? Pour former la mosaïque, il est possible de déplacer, faire pivoter et refléter le polygone de départ, mais rien de plus ; ni modifier leur taille, ni les déformer.

Les Grecs de l’Antiquité ont démontré que les seuls polygones réguliers – avec des côtés égaux et des angles intérieurs – qui couvrent le plan (sans laisser de vide) Ce sont le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier. Mais si des polygones convexes plus généraux sont utilisés, la question devient beaucoup plus difficile. On sait depuis longtemps que n’importe quel triangle et quadrilatère convexe fonctionné. Aussi c’était prouvé qu’il n’existe que trois familles d’hexagones convexes qui permettent de couvrir le plan, et qu’aucun autre polygone convexe ayant plus de six côtés ne peut le faire.

Cependant, le cas le plus difficile apparaît lorsqu’on considère des pentagones convexes. Il y a plus de 100 ans, les cinq premières familles de pentagones recouvrant l’avion ont été découvertes. En 1968, un mathématicien Il en trouva trois autres et déclaraà tort, après avoir montré que ces huit étaient les seuls pentagones convexes couvrant le plan.

Marjorie Rice est tombée sur un article mentionnant ce résultat dans la revue Scientifique américain. Même si elle n’a qu’un diplôme d’études secondaires et qu’elle s’intéresse beaucoup à l’art, Rice trouve rapidement le quatre nouveaux types de pentagones convexes qui couvrent l’avion. En l’honneur de Rice, décédée en 2017 à l’âge de 94 ans, l’un de ces types est représenté avec des carreaux pentagonaux recouvrant le sol du bâtiment. hall du siège de la Mathematical Association of America (à Washington, États-Unis). Au fil du temps, de plus en plus de revêtements ont été découverts, portant à 15 le nombre total de familles de pentagones convexes. Enfin, en 2017, le mathématicien Michaël Rao, à l’aide d’un test assisté par ordinateur, démontré que ces 15 familles connues de pentagones convexes Ils sont les seuls à pouvoir couvrir l’avion.

L’autre histoire d’un amateur qui a apporté une contribution mathématique met en vedette le biologiste des médias Aubrey de Grey, qui a fait une avancée importante dans le problème de la coloration des plans, une question célèbre en théorie des graphes, avec des liens avec d’autres problèmes dans ce domaine. Aussi connu comme le problème Hadwiger-Nelson, consiste à trouver le nombre minimum de couleurs nécessaire pour colorer un plan, de sorte que toute paire de points éloignés l’un de l’autre ait des couleurs différentes. Cette valeur est appelée le numéro chromatique du plan.

Les mathématiciens Hugo Hadwiger et Edward Nelson ont travaillé et publié des rapports sur le problème dans les années 1940 et 1950. des limites supérieure et inférieure ont été trouvées pour le numéro chromatique du plan.

On sait qu’une limite supérieure est de sept, puisqu’il est possible de colorer le plan avec seulement sept couleurs, de sorte qu’aucune paire de points distants de un n’ait la même couleur. Pour ce faire, le plan est recouvert d’un hexagone régulier dont le diamètre est légèrement inférieur à un. Puisque chaque hexagone borde six autres hexagones, sept couleurs sont utilisées : une pour l’hexagone central et six pour ses voisins. Suivant cette stratégie, tous les hexagones sont colorés et le plan est coloré comme souhaité.

Quant à la limite inférieure, une limite évidente est trois. Juste pour colorer les sommets d’un triangle équilatéral dont les côtés ont une longueur d’un, trois couleurs différentes sont nécessaires. Un graphique légèrement plus compliqué, appelé Broche Moser, avec sept sommets, découvert en 1961, montre qu’au moins quatre couleurs sont nécessaires. Tout cela établit que le nombre chromatique du plan est quatre, cinq, six ou sept. Et c’est ainsi que la situation est restée pendant près de 60 ans, jusqu’à ce que l’œuvre d’Aubrey de Gray en 2018.

De Grey, un scientifique connu pour son opinion selon laquelle la technologie médicale peut permettre aux humains modernes de ne pas mourir de causes liées à l’âge, s’est lié d’amitié avec des mathématiciens grâce à leur passion commune pour les jeux de société. Ils lui ont fait découvrir la théorie des graphes et le problème de Hadwiger-Nelson, et pendant des années, De Gray a travaillé de manière intermittente sur ces sujets. En 2018, il a publié un article dans lequel il montre que le nombre chromatique du plan est au moins cinq. Pour ce faire, il a fusionné plusieurs copies du fuseau de Moser et a construit un graphe monstrueux de 20 425 sommets, impossible à colorier avec quatre couleurs. Par la suite, la taille de ces graphes incolores à quatre couleurs a été réduite à 509 sommets.

Le problème général reste entier, mais grâce aux travaux de ce biologiste, on sait que le nombre chromatique du plan est cinq, six ou sept. De Gray n’a peut-être pas atteint l’immortalité biologique, mais il a certainement atteint l’immortalité mathématique.

Siddhant Govardhan Agrawal Il est chercheur postdoctoral à Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT).

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres aspects sociaux. et expressions culturelles et rappelons-nous ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes. »

Édition, traduction et coordination : Agate Timón García-Longoria. Elle est coordinatrice du Unité de Culture Mathématique de l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT)

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