Des urnes et des prétendants | Le jeu scientifique

Concernant le problème des carreaux carrés, évoqué la semaine dernière, Benedicto Torres déclare :

Si pour les valeurs suivantes de N et B la surface S est :

N = 8, B = 0 => S = 3 N = 9, B = 0 => S = 3′5 N = 10, B = 0 => S = 4

N = 8, B = 1 => S = 4 N = 9, B = 1 => S = 4′5 N = 10, B = 1 => S = 5

On en déduit : S = (N-2)*1/2 + B

Compte tenu des surfaces :

Minimum avec N = 3 et B = 0 => S = (3-2)*1/2 + 0 = 1/2 Maximum avec N = 26 et B = 28 => S = (26-2)*1/2 + 28 = 40

Ce à quoi Francisco Montesinos répond (uniquement pour les mathématiciens) :

Une façon amusante d’arriver à la même fonction est de commencer par essayer une fonction linéaire dans N et B du type F(N, B) = aN + bB + c. Ensuite, en prenant les exemples les plus simples, on voit que F(N + 1,B) – F(N, B) = 1/2. Mais ce n’est rien d’autre que la dérivée partielle (peut-être serait-il plus approprié de l’appeler pseudo-dérivée) de F par rapport à N, dont la valeur est a, de sorte que a = 1/2. De la même manière, on arrive au fait que la dérivée partielle de F par rapport à B : F(N, B+1) – F(N, B) doit être 1, donc b = 1. Finalement, en appliquant la formule pe Dans le cas (N, B) = (4, 0) on obtient c = -1. Il est surprenant qu’une fonction linéaire résolve le problème, même si après y avoir réfléchi, il y a des raisons pour lesquelles cela devrait être le cas.

Et par rapport au problème du symbiote, Bretos Bursó propose cette série de quatre (ou ces quatre séries) :

1) A chaque étape on tire au hasard une boule d’une urne, et on termine si elle n’est pas blanche. Au début il y a 1 boule verte et 1 boule blanche. Chaque fois qu’elle ressort blanche, on la remet dans l’urne avec 1 boule rouge et on passe à l’étape suivante. Quelle est la probabilité de finir par tirer la boule verte ?

2) Idem si au début il y a 1 boule verte et 1 boule blanche, et si elle ressort blanche on ajoute 1 boule rouge et 1 boule blanche.

3) Idem si au début il y a 2 boules rouges et 1 boule blanche, et si elle ressort blanche on ajoute 1 boule verte et 1 boule blanche.

4) Idem si au début il y a 1 boule verte et 3 boules blanches, et si elle ressort blanche on ajoute 2 boules rouges et 2 boules blanches.

Les lecteurs réguliers se souviennent peut-être d’un article d’il y a quelques années consacré à l’urne Pólya (du nom du mathématicien hongrois George Pólya), dont les quatre problèmes précédents sont des variantes. Et j’en profite pour répéter quelques questions restées sans réponse à l’époque : le fait que les riches s’enrichissent a-t-il quelque chose à voir avec l’urne de Pólya ? Et le choix d’une femme qui hésite entre deux prétendants (situation typique des romans d’amour) ?

Les urnes de Porcia

Et en parlant d’urnes et de prétendants, par hasard (ou peut-être pas), une remarquable similographie nous emmène de l’urne de Pólya à celles de Portia, qui dans le livre fascinant de Raymond Smullyan Quel est le nom de ce livre ? Ils donnent lieu à une intéressante série d’énigmes logiques. Comme ça:

Portia, la protagoniste de Le marchand de Venisea trois urnes, une en or, une en argent et une autre en plomb, et à l’intérieur de l’une d’elles se trouve son portrait. Et le prétendant actuel, pour obtenir sa main, doit déduire dans quelle urne se trouve le portrait de Portia à partir des informations suivantes :

Sur l’urne en or, il y a une pancarte qui dit : « Le portrait n’est pas dans l’urne en argent ».

Sur l’urne en argent, il y a une pancarte qui dit : « Le portrait n’est pas dans cette urne ».

Sur l’urne en plomb, il y a une pancarte qui dit : « Le portrait est dans cette urne ».

Sachant qu’au moins une des trois affirmations est vraie et qu’au moins une est fausse, dans quelle urne se trouve le portrait ?