Enveloppes, ponts, oiseaux et poissons | Le jeu des sciences

Notre jongleur de la semaine dernière n’a pas pris la meilleure décision en traversant un pont aussi précaire en jetant ses quilles en l’air, car sa réaction en les lançant verticalement vers le haut – ainsi que leur impact au retour dans les mains de l’artiste de cirque – exerce sur le pont une force supérieure à son poids au repos. Même un jongleur ne peut contourner la troisième loi de Newton.

Certains lecteurs ont suggéré d’utiliser une échelle pour vérifier cela et quantifier l’effet. Si vous disposez à la maison de « balances » typiques pour contrôler les effets du régime (et d’un plafond suffisamment haut), vous pouvez tenter, à vos risques et périls, l’expérience suivante : prenez un objet pesant un kilo ou plus (un carton de n’importe quel liquide, par exemple), montez sur la balance avec celle-ci dans vos mains et lancez-la légèrement vers le haut sans perdre de vue le repère de la balance ; Vous remarquerez qu’au moment du lancement et au moment de la récupération de l’objet (si vous parvenez à le récupérer en vol) l’aiguille se déplace légèrement vers la droite.

Le problème du jongleur n’est pas sans rappeler celui qui fut posé, il y a de nombreuses années, lors d’un examen de physique dans une école d’ingénieurs et qui, à l’époque, devint célèbre :

Sur une balance se trouve une cage qui, vide, pèse un kilo avec un oiseau de 30 grammes perché sur sa bascule. Soudain, l’oiseau commence à flotter à l’intérieur de la cage. À quelle hauteur l’aiguille de la balance indique-t-elle ?

Une variation sur le même thème :

C’est maintenant un petit aquarium avec un poisson qui se trouve sur la balance. L’aquarium et l’eau pèsent un kilo et le poisson pèse 30 grammes. Soudain, le poisson saute hors de l’eau et retombe dans l’aquarium. Comment ce saut affecte-t-il l’aiguille à écailles ?

Et une variation sur la variation :

Dans l’aquarium d’avant, avec la même quantité d’eau, il n’y a pas un poisson mais une boule de fer d’un kilo posée au fond. Si vous mettez votre main dans l’aquarium et retirez la boule de fer, que montre l’aiguille de la balance à différents moments de cette action ?

L’équivalence de l’enveloppe et des ponts

Et d’un problème de pont (dans les deux sens de la préposition) à un autre d’enveloppes et de ponts parallèles :

La célèbre tournée de les 7 ponts de Königsberg Ce n’était pas possible car les quatre parties de la ville avaient un nombre impair de ponts : 5 vers l’une des îles, 3 vers l’autre, 3 vers la rive droite du fleuve et 3 vers la gauche (un total de 14, oui , mais c’est que nous avons compté chaque pont deux fois). Par conséquent, quel que soit l’endroit où vous commenciez, si vous traversiez tous les ponts sans repasser par aucun d’entre eux, vous deviez faire une chose impossible pour accomplir la tâche : terminer le parcours dans les trois autres parties en même temps (puisque vous visitez tous d’entre eux selon la séquence entrée-sortie-entrée, ou entrée-sortie-entrée-sortie-entrée dans le cas de l’îlot à 5 ponts). Pour que la route eulérienne puisse commencer dans une zone et se terminer dans une autre (comme cela se produit aujourd’hui à Kaliningrad), il faudrait qu’il y ait deux zones avec un nombre pair de ponts et deux avec un nombre impair.

En allant de Königsberg à Kaliningrad et de 7 ponts à 5, ce sont 21 paires de ponts différentes qui auraient pu disparaître (7×6/2). Et 15 de ces paires, lorsqu’elles disparaissent, laissent deux zones avec un nombre pair de ponts et les deux autres avec un nombre impair. Par exemple, si l’on élimine les ponts marqués sur la figure (qui à première vue semblent les plus inutiles), les deux îles se retrouvent avec 3 ponts et les deux rives avec 2. Par conséquent, nous avons besoin de données supplémentaires pour savoir laquelle des 15 paires des ponts possibles a été éliminé. Ce que nous pouvons affirmer, c’est que, quels que soient les ponts manquants, le problème désormais résoluble des ponts de Kaliningrad équivaut au problème bien connu de dessiner une enveloppe ouverte sans retirer le crayon du papier ni repasser deux fois la même ligne. Voyez-vous l’équivalence ? Et ne dites pas que les zones de Kaliningrad sont au nombre de 4 alors que l’enveloppe a 5 sommets (pourquoi ne devriez-vous pas le dire ?).

Et comme nous parlons de graphiques depuis quelques semaines, sans à peine les nommer, j’en profite pour vous recommander une fois de plus le livre merveilleux et amusant de Clara Grima. À la recherche du graphique perdu. Comme je l’ai dit à l’époque, quand j’ai commencé à le lire, je me suis dit : « Pourquoi ne l’aurais-je pas écrit ? », mais quand je l’ai fini, je me suis dit : « C’est mieux qu’elle l’écrive ».

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