Heureux (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)² ! | Café et théorèmes | Science

À ces dates, dans les vœux pour la nouvelle année, parmi les bons vœux, les arbres de Noël, les paysages enneigés et autres éléments saisonniers, se faufilent parfois les propriétés mathématiques du nouveau chiffre : s’il est premier ou, sinon, s’il peut être décomposé. dans ses facteurs d’une manière curieuse, si elle peut s’exprimer comme une somme frappante… L’année qui commence, 2025, admet une formule de ce type : c’est le carré des neuf premiers nombres naturels. Soit : 2025 = (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)².

C’est un nombre polygonal: un nombre naturel qui peut être représenté graphiquement comme un polygone régulier (voir image ci-dessous). Dans le cas des nombres carrés, ce sont 1, 4, 9… Ces types de chiffres, étudiés depuis l’Antiquité, peuvent également être exprimés avec des formules. Par exemple, pour tout nombre naturel n, la formule du nième nombre carré est n². Puisque 2025 = 45², 2025 est le quarante-cinquième nombre carré.

La formule des nombres triangulaires est également simple : le nième nombre triangulaire est obtenu en additionnant les n premiers nombres naturels. Autrement dit, le premier nombre triangulaire est 1, le deuxième est 3 (1+2), le troisième est 5 (1+2+3) et ainsi de suite. 45 est le neuvième nombre triangulaire. Par conséquent, 2025 n’est pas seulement un nombre carré, mais c’est le carré du neuvième nombre triangulaire.

De plus, puisque le carré de la somme des n premiers nombres est égal à la somme des cubes des n premiers nombres – autre relation mathématique curieuse, très facile à prouver – 2025 peut aussi s’écrire 1³+2³+3³+ 4³ +5³+6³+7³+8³+9³. En guise de passe-temps de vacances, nous laissons les lecteurs découvrir les propriétés numériques de cette année dans le système musulman (1446), bouddhiste (2568), chinois (4722) ou d’autres cultures.

Manuel de Léon Il est professeur-chercheur au Conseil supérieur de la recherche scientifique de l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT) et membre titulaire de l’Académie royale des sciences exactes, physiques et naturelles.

Agate Timón García-Longoria Elle est coordinatrice de l’Unité de Culture Mathématique ICMAT.

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres aspects sociaux. et expressions culturelles et rappelons-nous ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes. »

Édition, traduction et coordination : Agate Timón García-Longoria.