La cycloïde, l’Hélène de Troie des géomètres

Qu’ils ont en commun Hélène de Troie et un simple courbe mathématique? Bien que la première soit connue pour le conflit épique qu’elle a déclenché, la cycloïde, une courbe apparemment simple, a généré des controverses très comparables au sein de la communauté mathématique. En effet, depuis le XVIIe siècle, la cycloïde est appelée «L’Hélène des géomètres“.

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Cette courbe est définie comme le chemin suivi par un point au bord d’un cercle pendant qu’il roule sans glisser sur une ligne droite. À première vue, cela paraît simple curiosité géométrique, mais son étude a révélé des détails profonds liés au calcul différentiel et intégral. Cependant, tout au long des XVIIe et XVIIIe siècles, la cycloïde fait l’objet de débats intenses et défis mathématiquesoù des personnages aussi importants que Galileo Galilei, Blaise Pascal ou les frères Bernoulli étaient les protagonistes.

UNE COURBE AVEC L’HISTOIRE

L’histoire de la cycloïde est aussi complexe que fascinante. Ses origines remontent à la Renaissance, avec le mathématicien français Charles de Bovelesqui en 1503 décrit la cycloïde dans son ouvrage “Une introduction à la géométrie“. Même si sa description contenait des erreurs et n’était pas rigoureuse, elle suffisait à marquer le début de l’intérêt mathématique pour cette courbe. Plus tard, en 1599, Galilée a inventé le terme cycloïde et a tenté mettre au carré, c’est-à-dire trouver un carré d’aire égale à l’aire sous la courbe. Et même s’il n’est pas parvenu à une solution précise, ses méthodes expérimentales innovantes ont jeté les bases de recherches futures.

Au XVIIe siècle, la cycloïde est devenue le centre de nombreuses controverses et débats mathématiques. En 1658, Blaise Pascal Il a lancé un défi à la communauté mathématique : déterminer diverses propriétés de la cycloïde, notamment sa longueur et son centre de gravité. Ce défi a non seulement intensifié l’étude de la cycloïde, mais a également donné une grande impulsion àavance dans le calcul et la géométrie.

La longueur de la cycloïde, par exemple, a été correctement calculée par Christophe Wren, qui a montré qu’il est égal à quatre fois le diamètre du cercle générateur. Ce résultat, ainsi que les travaux de mathématiciens tels que Gilles de Roberval et Pierre de Fermat, ont cimenté l’importance de la cycloïde dans l’histoire des mathématiques.

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Cependant, le problème de brachistochrone, élevé par Johann Bernoulli en 1696, est l’un des jalons les plus importants associés à la cycloïde. Bernoulli a mis la communauté mathématique au défi de trouver la courbe de descente plus rapide sous l’influence de la gravité, et la solution s’est avérée être une cycloïde. Ce problème a conduit à développement du calcul des variations et a été résolu par de grands mathématiciens tels que Leibniz, Newton et les frères Bernoulli.

QUI A DÉCOUVERT?

Même sa propre découverte cycloïde est entourée d’une énigme historique. Bien que Galileo Galilei ait été le premier à étudier la courbe en profondeur et à la nommer cycloide, le mérite de sa découverte a fait l’objet de débats. L’historien Paul Tannery a suggéré que la cycloïde aurait pu être connue dans les temps anciens, citant des philosophes tels que Jamblico.

En 1679, John Wallis attribua la découverte à Nicolas de Cuse, même si le manque de preuves concrètes laissait planer le doute sur cette affirmation. En revanche, à la fin du XIXe siècle, certains historiens ont commencé à accorder du crédit à Marin Mersennemoine et ami de Descartes, comme le véritable découvreur de la cycloïde.

Charles de Bovelles, mathématicien français, est un autre nom important dans cette histoire. Comme nous l’avons mentionné, dans son ouvrage de 1503, «Une introduction à la géométrie“, a décrit la cycloïde bien qu’avec des erreurs significatives dans son analyse. Cependant, ses travaux ont marqué un point de départ pour l’étude formelle de la cycloïde. Malgré ces premières tentatives, c’est Galilée qui a réalisé la première étude rigoureuse de la courbe.

Les controverses ne se limitaient pas à la paternité de la découverte. En 1644, Evangelista Torricelli, disciple de Galilée, publie sur la cycloïde des résultats que Gilles de Roberval considère un plagiat de son œuvre inédite. Ce conflit fut brusquement réglé avec la mort de Torricelli en 1647. De plus, les méthodes de calcul des tangentes de la cycloïde proposées par Pierre de Fermat, René Descartes et Roberval engendrèrent de nouvelles controverses, chacun défendant la supériorité de sa propre méthode.

PROTAGONISTE EN MATHÉMATIQUES

Malgré les controverses, les études mathématiques de la cycloïde ont abouti à des avancées significatives dans divers domaines, trouvant ainsi de nombreuses applications pratiques. En architecture, le arcs cycloïdaux Ils sont très utiles en raison de leur résistance structurelle et de leur esthétique élégante. En ingénierie, le réducteurs cycloïdaux Ils utilisent cette courbe pour concevoir des engrenages qui améliorent l’efficacité et la durabilité des machines.

De plus, la cycloïde est cruciale dans les problèmes de physique, comme celui de taautochrone, dans lequel une balle lâchée sur une cycloïde inversée atteint le fond en même temps, quel que soit son point de départ. Ce phénomène a été découvert par Christiaan Huygens et a des applications dans la théorie des horloges à pendule et d’autres systèmes dynamiques.