La mouche de Descartes | Science

Concernant les ellipses de Steiner, vues la semaine dernière, Salva Fuster commente : « Le triangle dont les sommets sont les milieux des segments du triangle original est similaire à l’original, le rapport de similarité entre les deux étant de 1/2 (1/4 si l’on se référer à la zone). Puisque le centre de gravité des deux triangles est le même et que les médianes des deux triangles coïncident sur les mêmes lignes, la proportion d’aires entre les deux ellipses sera de 1/4, même s’il me semble qu’il faudrait démontrer le caractère unique de l’inellipse et aussi que, construit comme semblable à la circumellipse, il est tangent aux milieux des segments du triangle original.

Ceci est plus facile à vérifier dans le cas particulier où le triangle est équilatéral, en comparant les axes des deux ellipses et en voyant que ceux de la circumellipse sont deux fois ceux de l’inelipse (dont l’aire est π/3√3 pour un triangle d’aire 1) .

Quant à la fraction 13/42, qui multipliée par 15 !, donne le nombre total de solutions au problème des écolières, elle est le résultat de la somme suivante :

1/168 + 1/168 + 1/24 + 1/24 + 1/12 + 1/12 + 1/21 = 13/42 (pourquoi ?).

Un génie qui attrape les mouches

Comme nous l’avons vu la semaine dernière, Jakob Steiner détestait la géométrie analytique, qu’il considérait comme « impure », un exemple notable de la façon dont les mathématiciens, souvent considérés comme le paradigme de la pensée logique, peuvent tomber dans de véritables illusions émotionnelles. Eh bien, la géométrie analytique, avec sa fusion de l’algèbre et de la géométrie « pure », est l’un des outils mathématiques les plus puissants.

Les antécédents remontent à la Grèce antique, puisque tant Ménechme, disciple de Platon, qu’Apollonius de Perge, le Grand Géomètre, utilisaient des méthodes mixtes très proches de la géométrie analytique telle que nous l’entendons aujourd’hui ; bien que le précurseur le plus évident ait été l’éminent poète et mathématicien persan Omar Jayam, dont Traité sur les preuves de problèmes d’algèbre, écrit au XIe siècle, peut être considéré comme le texte fondateur de la géométrie analytique. Mais celui qui lui a donné une forme définitive, c’est René Descartes, aidé d’une mouche.

En raison de sa mauvaise santé, Descartes passait beaucoup de temps allongé, et non seulement ses célèbres réflexions philosophiques émergeaient de sa prosternation, mais aussi d’importantes contributions aux mathématiques. On raconte qu’un jour, il était allongé dans son lit, les yeux perdus, lorsqu’il remarqua une mouche qui voltigait dans la pièce, et au lieu de se limiter à “attraper des mouches”, comme l’aurait fait quelqu’un d’autre, il pensa que pour déterminer il suffisait de connaître la position de l’insecte en connaissant sa distance au sol et à deux murs perpendiculaires entre eux (et au sol, bien sûr). Et si, au lieu de voler dans la pièce, la mouche avait marché sur la table de nuit vraisemblablement rectangulaire de Descartes, elle aurait pu déterminer sa position par sa distance à deux côtés perpendiculaires. Les coordonnées cartésiennes étaient nées.

La puissance de cette idée simple réside dans le fait qu’en prenant une paire de droites perpendiculaires comme système de référence, on peut convertir une droite en équation et vice versa. Par exemple, la ligne de la figure passe par le point d’intersection des axes et l’un de ses points est deux fois plus éloigné de l’axe horizontal que de l’axe vertical. Appelons x (abscisse) la deuxième distance et y (ordonnée) la première, et tous les points de la ligne satisferont la relation y = 2x. Ou ce qui revient au même : la ligne est la représentation graphique de l’équation y = 2x.

Sans chercher sur Internet ni dépoussiérer vos vieux manuels scolaires, parviendrez-vous à trouver l’équation d’un cercle dont le centre coïncide avec le point d’intersection des axes et dont le rayon mesure 5 unités ?

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