La peinture de la Renaissance qui a créé une nouvelle géométrie | Café et théorèmes | Science

Albrecht Dürer, né à Nuremberg le 21 mai 1471, est universellement considéré comme l’un des grands peintres pionniers de la Renaissance —comme Giotto, Piero de la Francesca ou Alberdi—, qui a développé une nouvelle manière de peindre basée sur la perspective, ou «construction légitime“, comme ils l’appelaient. Pour comprendre pourquoi cette nouvelle façon de représenter la réalité fonctionnait si bien, il fallait créer une nouvelle géométrie.

Fils d’un orfèvre de renom, Dürer fait preuve, dès son enfance, d’une étonnante disposition pour le dessin, ce qui lui permet d’entrer comme apprenti dans un prestigieux atelier de gravure à Nuremberg. Très jeune, il voyage à Bologne où il apprend, peut-être du mathématicien Luca Pacioli et du peintre et architecte Bramante, les principes de la perspective linéaire.

C’était une époque de grandes découvertes et les artistes italiens s’étaient tournés vers les mathématiques et l’anatomie pour représenter l’espace et les formes du corps humain. Dürer a soutenu que la géométrie et les mesures précises sont la clé pour comprendre l’art classique. Ses publications comprennent Les quatre livres de mesure y Les quatre livres sur les proportions humainesqui contiennent diverses constructions de polygones et de polyèdres réguliers, ainsi que, comme indiqué, les quatre types différents de figures féminines et masculines, dont les dimensions corporelles sont exprimées en fractions de la taille totale.

Dürer a soutenu que la géométrie et les mesures précises sont la clé pour comprendre l’art classique; c’étaient des époques de grandes découvertes, et les artistes italiens s’étaient tournés vers les mathématiques et l’anatomie

Les mathématiques sont très présentes dans son travail. votre gravure Mélancolie je contient un carré magique 4×4 dans lequel tous les nombres entre 1 et 16 sont disposés de sorte que la somme de leurs lignes, colonnes et diagonales soit toujours 34.

Bien que Dürer n’ait fait aucune découverte géométrique originale, il fut parmi les premiers à décrire la perspective en termes d’éléments d’Euclide : l’image peinte est une projection de la réalité sur la toile, dont le centre est situé dans l’œil du peintre. Toutes les lignes de profondeur se retrouvent dans ce point de vue et le tableau est le résultat de l’intersection du plan du tableau avec le cône visuel, formé par les lignes qui joignent le point de vue aux figures représentées.

Dans cette approche, les parallèles, quelle que soit leur orientation, se rejoignent en leur point de fuite situé à l’horizon, c’est-à-dire sur l’horizontale passant par le point d’intersection avec le carré de la perpendiculaire tirée du point de vue.

La méthode de Dürer et d’autres génies de la Renaissance a ensuite été enrichie en ajoutant la perspective dans le sens vertical ou aérien.

Dans ce processus pictural, les longueurs et les angles sont déformés, cependant, la scène originale est toujours très reconnaissable. Pour l’expliquer, de grands mathématiciens comme Girard Desargues et Blaise Pascal, d’abord, et Charles Brianchon et Jean-Victor Poncelet, plus tard, ont créé une nouvelle géométrie —la géométrie projective—, caractérisée précisément parce que, en elle, les droites parallèles ont un point en commun : le point de l’infini.

Desargues considérait un objet mathématique très simple, comme un triangle, et se demandait ce qui suffisait pour que deux triangles soient en perspective. En réponse, il donna un joli théorème : “La projection d’un triangle de sommets ABC d’un point de vue O est le triangle A’B’C’ si, et seulement si, les lignes qui contiennent les côtés correspondants se coupent en points alignés” .

Qu’en prolongeant les côtés correspondants AB et A’B’ se coupent en un point P, AC et A’C’ en Q, et BC et B’C’ en R, il est facile de voir, mais ce qui est surprenant, c’est que les trois points P, Q et R sont sur une même droite dans l’espace et que, de plus, c’est une raison suffisante pour que les deux triangles soient en perspective.

Dans les années suivantes, la méthode a été développée, obtenant de très beaux et intéressants théorèmes qui ont donné naissance à la géométrie projective. Dans les projectivités, les lignes sont transformées en lignes, mais, en général, les distances et les angles ne sont pas conservés. Il arrive cependant que le soi-disant double rapport de quatre points alignés soit maintenu : (A, B, C, D) = (CA/CB)/(DA/DB). Donc si on a un autre quadruplet de points situés sur une même droite A’, B’, C’, D’, et qu’on veut savoir si ce dernier peut être l’image du premier par une projectivité, il suffit de vérifier que deux nombres coïncident, c’est-à-dire qu’ils ont le même rapport double.

Les mathématiciens ont tenté de trouver d’autres invariants projectifs, comme le double rapport, qui a conduit, des siècles plus tard, à la formulation abstraite de la géométrie par le programme d’Erlangen de Felix Klein : l’espace est désormais tout ensemble sur lequel un groupe de transformations, la recherche d’invariants étant la principale tâche des géomètres. Cet effort, sur les épaules de géants comme Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann et bien d’autres, nous conduirait à la relativité générale et aux théories cosmologiques modernes.

La méthode de Dürer et des autres génies de la Renaissance s’est ensuite enrichie en y ajoutant la perspective dans le sens vertical, ou perspective aérienne. Puis les cubistes l’ont déconstruit en introduisant différents points de vue dans différentes parties d’un même tableau, ce qui nous conduirait à Picasso et au concept moderne de variété topologique.

Antoine Cordoue Il est professeur émérite de l’Université autonome de Madrid, membre de l’Institut des sciences mathématiques et académicien honoraire de l’Académie des sciences de la région de Murcie.

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres expressions sociales et culturelles et se souvenir de ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».

Édition et coordination : Agate A. Gouvernail G Longoria (ICMAT).

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