La régularité des 500 et 2025 | Le jeu scientifique

Diviser un camembert discoïdal en huit parties égales avec trois coupes droites est simple… si l’on prend en compte la troisième dimension, c’est-à-dire la hauteur du fromage. La difficulté (psychologique plutôt que géométrique) de ce problème réside dans le fait qu’on a tendance à penser uniquement aux coupes verticales, et dans ce cas la solution est de couper le fromage en morceaux à l’aide de deux coupes verticales diamétrales perpendiculaires entre elles, plus une troisième coupe horizontale à égale distance les unes des autres des bases.

L’autre problème domestique de la semaine dernière n’est pas si simple. En appelant n le nombre de portions, pour n = 2 et n = 3 les solutions sont triviales : dans le premier cas nous ferons une coupe diamétrale, et dans le second nous diviserons le fromage en trois secteurs de 120º. Je reproduis ci-dessous la solution donnée à l’époque par l’auteur du problème, Josep Maria Albaigès, pour n = 4, y compris l’illustration originale, tirée de la revue Carollia:

« Pour n = 4, les choses commencent à se compliquer. Eh bien, une coupe selon quatre secteurs de 90 degrés donnerait une longueur de coupe L = 4, alors que dans le système indiqué sur la figure de gauche, L = 3,9624 suffit. Cette division a été obtenue en rappelant la propriété bien connue selon laquelle le point situé à l’intérieur d’un triangle dont la somme des distances aux trois sommets est minimale est celui qui voit ceux-ci sous des angles de 120 degrés. Cependant, elle peut encore être améliorée : intuitivement on comprend que, les segments de droite incidents sur la circonférence n’étant pas perpendiculaires à celle-ci, ils pourraient être remplacés par des arcs de circonférence répondant à cette condition. Cela s’améliore encore quelque peu, pour arriver au chiffre de droite où L = 3,9412″.

numéros réguliers

En plus d’être la première de 2025, il s’agit de la livraison no. 500 de Le jeu scientifiqueet même s’il ne faut pas surestimer les chiffres ronds, un chiffre aussi rond que celui-ci, qui en chiffres romains méritait sa propre lettre, ne peut passer inaperçu.

Outre sa double rondeur (puisqu’il se termine par deux zéros), la particularité mathématique la plus notable de 500 est qu’il s’agit d’un nombre régulier. Les nombres réguliers sont ceux parmi lesquels aucun facteur premier n’est supérieur à 5 (c’est-à-dire seulement 2, 3 et 5), et ils étaient d’une grande importance chez les Babyloniens (devinez-vous, ou plutôt déduisez-vous, pourquoi ?) ; Les vingt premiers sont :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36…

1 est inclus car selon une autre définition (la première, en fait), un nombre régulier est celui qui divise une puissance de 60 (et donc 30).

En dehors du domaine mathématique, 500 donne son nom à un jeu de cartes d’enchères et de paires similaire au bridge (dans lequel les joueurs déclarent à l’avance le nombre de levées qu’ils espèrent gagner). Dans l’une des variantes, vous devez obtenir exactement 500 points, d’où le nom du jeu.

À propos, 2025 est aussi un nombre régulier, ainsi qu’un carré parfait (452). Et puisque 500 et l’année que nous avons saisie sont divisibles par 5, créons également un carré divisible par 5. Il est très facile de diviser un carré en 4 carrés égaux, mais pas si facilement en 5, bien que cela puisse être réalisé grâce à une construction géométrique relativement simple. Pouvez-vous diviser un carré en 5 carrés égaux sans autre aide qu’une règle ? Et si vous avez recours à l’origami, il n’est même pas nécessaire d’être diplômé.

Et enfin, on ne peut pas passer à côté d’un petit problème lié à la nouvelle année :

Pour Noël, ils m’ont offert deux agendas quotidiens pour 2025, et comme je n’en ai besoin que d’un, je garde l’autre pour l’année prochaine qui commence un mercredi (et n’est pas une année bissextile). Combien de temps dois-je le libérer ?

Une nouvelle année et 500 livraisons de Le jeu scientifique: double raison de remercier mes lecteurs réguliers pour leur régularité et leurs commentaires perspicaces, qui font de cette chronique plus qu’une simple section sur les loisirs mathématiques.