2024-09-13 13:28:39
Il n’est pas nécessaire d’effectuer des calculs complexes pour vérifier, comme cela a été demandé la semaine dernière, si la racine cinquième de 5 est supérieure ou inférieure à la racine carrée de 2. Il suffit d’élever les deux quantités à la puissance dixième, avec laquelle on obtiendra respectivement 5² = 25 et 2² = 32, d’où il résulte que √2 est supérieur à la racine cinquième de 5.
De même, pour comparer la quatrième racine de 4 avec la septième racine de 7, les deux quantités doivent être élevées à la puissance 28, donc, à première vue, il peut sembler qu’il n’est plus si facile de résoudre mentalement la question ; mais, avec un peu d’ingéniosité, on voit que, puisque la quatrième racine de 4 élevée à la puissance 28 est 4⁷ :
4⁷ = 214 = 2⁷ x 2⁷ = 128²
Et puisque la septième racine de 7 élevée à la puissance 28 est 7⁴ :
7⁴ = 7² x 7² = 49²
Et puisque 128 > 49, la quatrième racine de 4 est supérieure à la septième racine de 7.
À première vue, il semblerait que si m > n, la nième racine de n est supérieure à la « emth » racine de m. Est-ce toujours comme ça ?
Le troisième problème de la semaine dernière est un peu plus compliqué. Commençons par mettre au carré les deux expressions :
(√7 + √10)² = 7 + 10 + 2√70 = 17 + 2√70
(√3 + √19)² = 3 + 19 + 2√57 = 22 + 2√57
En soustrayant 17 des deux expressions, nous avons
2√70
5 + 2√57
Et si on met au carré les deux expressions :
(2√70)² = 280
(5 + 2√57)² = 253 + 20√57
Et en soustrayant 253 des deux quantités, nous avons :
27
20√57
Et puisque √57 > 7, 20√57 > 140, alors :
√3 + √19 > √7 + √10
Et, après l’échauffement neuronal, un autre un peu plus difficile, mais qui peut aussi se résoudre mentalement (ou presque) :
Si x élevé à la puissance x³ est égal à 3, quelle est la valeur de x ?
Comme nous l’avons vu la semaine dernière, la sixième des sept opérations, la radicalisation, est l’inverse de la potentialisation, puisqu’elle consiste à trouver la puissance à partir de la base et de l’exposant, et la première consiste à trouver la base à partir de la puissance et de l’exposant. Mais il existe un autre inverse de potentialisation, consistant à trouver l’exposant à partir de la base et de la puissance, et c’est la septième opération : la logarithmation. Autrement dit, trouver la racine carrée de 9 équivaut à trouver le nombre dont le carré est 9, c’est-à-dire résoudre l’équation x² = 9, tandis que la logarithmation consiste à trouver l’exposant connaissant la base et la puissance, c’est-à-dire à résoudre un équation de la forme 3ᵡ = 9.
Autrement dit, le logarithme d’un nombre n en base b est l’exposant x auquel il faut élever la base pour obtenir le nombre :
Le logarithme en base b de n = x signifie que n = bᵡ
Si la base est 10, les logarithmes sont appelés décimaux, et les valeurs 1, 2, 3… correspondent, évidemment, aux puissances de 10 :
log₁₀ 10 = 1, log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3…
Les logarithmes ont été introduits par le mathématicien écossais John Napier au début du XVIIe siècle, dans le but de simplifier les calculs en convertissant les multiplications en additions et les divisions en soustractions à l’aide de listes de nombres avec leurs logarithmes respectifs, les célèbres tables de logarithmes. . (Pouvez-vous expliquer pourquoi les logarithmes permettent de convertir une multiplication en addition ?).
Mais Napier n’a pas utilisé 10 comme base de ses logarithmes, appelés Logarithmes naturels, mais plutôt le nombre e (quelle raison pensez-vous qu’il avait à cela ?). Les logarithmes décimaux, également appelés communs ou vulgaires, ont ensuite été développés par le mathématicien anglais Henry Briggs.
Si vous avez bien compris la notion de logarithme, il ne vous sera pas difficile de répondre à ces questions :
Quels sont les nombres dont les logarithmes décimaux sont compris entre 0 et 2 ?
Quel est le logarithme décimal de 0,01 ?
Sachant que le logarithme décimal de 3 est 0,477, quel est le logarithme décimal de 9 ? Et le trentenaire ? Et celui du 1/3 ?
#septième #opération #Science
1726252424
