L’art de plier le papier | Le jeu des sciences

Le rectangle doré et la feuille de papier DIN A4 familière, mentionnés la semaine dernière, partagent la propriété de s’auto-répliquer facilement. Si nous retirons du rectangle doré un carré dont le côté est égal à son plus petit côté, le rectangle restant est similaire au premier (et est donc également doré).

Si nous prenons le côté le plus court du rectangle initial comme une unité et appelons son côté le plus long x, pour que les deux rectangles soient similaires, leurs côtés doivent être proportionnels, donc :

x:1 = 1:(x-1)

x2 – x – 1 = 0

x = 1,618… = Φ (le nombre d’or)

Dans le cas de la feuille de papier DIN A4, l’auto-réplication est encore plus simple : en la pliant en deux, on obtient deux feuilles DIN A5 semblables à la feuille entière. Si nous prenons à nouveau le côté le plus court de la feuille comme une unité et appelons le côté le plus long x, nous aurons maintenant :

x:1 = 1 :(x/2)

x²/2 = 1

x = √2 = 1 414…

Le nom DIN A4 vient du Institut allemand de normalisation: DIN est l’acronyme du Deutsches Institut für Normung, et le 4 indique le nombre de fois que la feuille originale, A0, mesurant 841×1189 mm, doit être pliée pour obtenir le format familier de 210×297 mm, qui correspond à peu près à l’ancien folio, en de la même manière que A5 se rapproche de l’ancienne page et A6 se rapproche du dépliant.

Si dans la figure ci-jointe nous modifiions de manière appropriée l’emplacement de A3, A4 et suivants, nous aurions la structure d’une quasi-spirale pointue semblable à la célèbre spirale dorée : la pseudo-spirale DIN. Que pouvez-vous dire d’elle ?

Et, en matière de pliage, combien de fois pensez-vous pouvoir plier et redoubler une feuille de papier ? Si vous essayez, vous verrez que vous ne pourrez pas le plier plus de sept fois consécutives. L’épaisseur d’une feuille de papier normale est d’environ un dixième de millimètre, donc après sept plis, vous aurez dans la main une petite billette peu pratique d’environ 13 mm d’épaisseur. Mais si vous pouviez continuer à plier et à replier indéfiniment, combien de fois faudrait-il plier une feuille de papier pour que le billet obtenu atteigne la Lune ? Quelle devrait être la taille de la feuille pour que l’opération soit possible (dans le cas idéal où le papier n’offrirait aucune résistance à la flexion) ?

Quant au pentacle, si vous n’avez pas encore trouvé la proportion entre son aire et celle du pentacle inversé à l’intérieur, vous avez une seconde chance : gardez à l’esprit que dans un pentacle il y a 10 triangles isocèles, 5 angles aigus (les pointes de l’étoile) et 5 angles obtus, et dans chacun d’eux le rapport entre le plus grand et le plus petit côté est le nombre d’or (1,618…). Et dans un pentagone régulier, la diagonale et le côté sont également dans le nombre d’or. Quel sera alors le rapport entre l’aire du pentacle et celle de son antipentacle intérieur ? Un avertissement : dans une célèbre nouvelle de Fredric Brown, une potentielle sorcière est piégée par le diable parce qu’elle ne connaît pas suffisamment la géométrie pentaculaire, alors…

Du pliage DIN au pliage carte

Pour en revenir à l’art de plier une feuille de papier, une question non moins intéressante que celle du nombre de fois où il est physiquement possible de le faire est celle du nombre de façons différentes dont nous pouvons la plier. S’il s’agit d’une feuille vierge à plier en deux de la manière habituelle (c’est-à-dire en joignant les bords les plus courts), la question n’est pas pertinente ; mais s’il s’agit d’une feuille imprimée avec des images et/ou des textes des deux côtés, nous pouvons la plier de deux manières, selon le côté que nous laissons de côté, et lorsque nous la plions à nouveau, nous avons à nouveau deux possibilités, et ainsi de suite. Autrement dit, nous avons 2ⁿ possibilités, n étant le nombre de doublements (ce qui dans le cas du format DIN donne toujours des rectangles similaires au premier).

Mais lorsque dans le monde réel on trouve un papier plié plusieurs fois, ce n’est généralement pas en pliages successifs de médiateurs de type DIN, car cela ne serait pas pratique lors, par exemple, de l’affichage d’une carte. Et puis les choses se compliquent considérablement.

De combien de manières différentes peut-on plier une feuille de papier deux fois de suite si les plis « allongés » sont également valables, c’est-à-dire joindre les côtés les plus longs ? Et trois fois, quatre… ?

Et si l’on envisage également des pliages qui ne sont pas en deux, comme ceux que l’on trouve effectivement sur les cartes, nous entrons dans un domaine combinatoire complexe et insaisissable que les mathématiciens eux-mêmes qualifient d’« irritant » : le pliage de cartes. Mais c’est un autre article.

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