L’art des statistiques | Le jeu des sciences

Nous pouvons diviser notre triangle obtus des dernières semaines en un minimum de 7 triangles aigus, en prenant un point intérieur de celui-ci comme sommet commun de 5 d’entre eux, qui forment un pentagone (saurez-vous le dessiner ?). Comme le pentagone est le plus petit polygone dont les angles au centre peuvent tous être aigus, la division n’est pas possible en moins de 7 angles aigus.

Concernant la formation de 4 triangles équilatéraux à 6 allumettes, dans ce type de problème on demande généralement que les allumettes soient utilisées dans toute leur longueur ; mais puisque dans ce cas cela n’a pas été demandé (et précisément nous avons parlé de ne pas nous imposer plus de conditions que celles spécifiées dans l’énoncé), à la solution tétraédrique classique nous pouvons ajouter celle de la figure, dans laquelle les côtés de les triangles ne sont pas des allumettes entières mais des demi-allumettes. Et comme il n’est pas nécessaire que les triangles soient 4 et seulement 4, la solution proposée par Bretos Bursó est également acceptable : « Si nous formons deux triangles équilatéraux et les superposons inversés, formant une étoile de David, nous obtenons une figure avec 6 équilatéraux triangles ».

Et quant au pentachore, l’analogue quadridimensionnel du tétraèdre, il a 5 sommets, 10 arêtes, 10 faces triangulaires et 5 cellules tétraédriques.

L’hypercube, tesseract ou octachore, bien qu’il soit plus complexe que le pentachore, est plus connu et plus facile à visualiser (c’est un dicton), en grande partie grâce à la Le corps de l’hypercube par Dalí, et quiconque a vu le tableau sait qu’il a 8 cellules cubiques (en plus de 16 sommets, 32 arêtes et 24 faces carrées). Sur la figure, nous voyons une représentation bidimensionnelle typique en perspective d’une projection tridimensionnelle d’un hypercube, dans laquelle il est relativement facile de compter les sommets, les arêtes et les faces. Les 8 cellules cubiques sont représentées par le grand cube, le petit cube et les 6 pyramides tronquées dont les grandes bases sont les faces de la première et dont les petites bases sont les faces de la seconde.

Jouer au poker avec l’archevêque de Cantorbéry

Le titre de cet article est celui d’un livre étonnant récemment publié : L’art des statistiquesde David Spiegelhalter (Capitaine Swing, 2023). Surprenant dès le titre même, puisque la statistique est une branche des mathématiques, une science formelle… Peut-elle aussi être considérée comme un art ?

Le célèbre économiste John Maynard Keynes était très porté sur les expériences de pensée, et la plus connue d’entre elles est probablement celle du concours de beauté (un magazine annonce un concours de beauté dans lequel les lectrices doivent choisir, parmi les femmes dont la photographie apparaît sur ses pages, aux six plus belles ; mais les gagnantes ne seront pas les femmes avec le plus de votes, mais les lectrices qui auront le plus de pronostics après décompte des votes).

Moins connu, mais non moins intéressant, est le jeu de poker épiscopal : imaginez que vous jouez contre l’archevêque de Cantorbéry et qu’au premier tour il gagne avec une quinte flush royale. Pensez-vous qu’il a triché ? La probabilité de tirer une quinte flush royale est très faible (saurez-vous la calculer ?) ; mais, d’autre part, il est peu probable que le monseigneur risque son prestige en tirant des cartes de sa soutane.

Ce type de réflexion, dans laquelle des éléments subjectifs et des connaissances antérieures interviennent dans l’estimation de la probabilité d’un événement, a conduit le mathématicien et ministre presbytérien Thomas Bayes, au XVIIIe siècle, à reconsidérer le calcul des probabilités d’une manière aussi nouvelle que féconde. Le livre de Spiegelhalter est, entre autres, une introduction stimulante aux statistiques bayésiennes. Dont nous devrons continuer à parler dans d’autres épisodes, car il ne reste que de l’espace/temps pour le problème rigoureux par rapport à la matière traitée :

En supposant que 1 % des femmes ont un cancer du sein et que les mammographies pour le détecter sont correctes à 90 % (au sens où 90 % des femmes atteintes d’un cancer et 90 % des femmes sans cancer correctement diagnostiquées), quelle est la probabilité qu’une femme dont la mammographie est positif a réellement un cancer ?

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