Le baiser précis | Le jeu des sciences

Les coordonnées de tout point (P) d’un cercle dont le centre coïncide avec le point d’intersection des axes (O) forment, avec son rayon correspondant, un triangle rectangle, dans lequel l’hypoténuse est le rayon (R) et les jambes sont les coordonnées (x, y), donc, d’après le théorème de Pythagore, la relation x² + y² = R2 sera toujours valable. Si le rayon mesure 5 unités, comme dans le cas présenté la semaine dernière, l’équation demandée sera x² + y² = 25.

La géométrie analytique et ses coordonnées cartésiennes furent sans aucun doute la contribution la plus importante de Descartes aux mathématiques, mais pas la seule. Il a souvent repris et donné une nouvelle impulsion à des problématiques traitées depuis longtemps, et en ce sens il convient de souligner le théorème des défauts angulaires (que nous aborderons à une autre occasion) et celui des cercles tangents.

Le théorème des quatre cercles tangents

Étant donné trois cercles tangents entre eux deux à deux, on peut toujours tracer un quatrième cercle tangent aux trois, qui peut leur être inscrit ou circonscrit.

La question fut abordée – il faut encore citer le Grand Géomètre – par Apollonius de Perge, et Descartes la reprit au milieu du XVIIe siècle, établissant une relation entre les courbures respectives des quatre cercles (rappelons que la courbure d’un le cercle est l’inverse de son rayon, avec un signe positif ou négatif selon que l’on considère sa partie convexe ou concave).

En 1936, le chimiste anglais Frederick Soddy (prix Nobel de chimie en 1921) redécouvre le théorème, et a publié sa version dans le magazine Nature sous la forme d’un poème humoristique intitulé Le baiser précisdans lequel il l’étend également au cas de cinq sphères tangentes entre elles (si vous connaissez l’anglais je vous recommande de chercher l’original, facile à trouver sur Internet ; sinon, vous devrez vous contenter de ma version hâtive dans eneasibos):

Le baiser précis

Peut-être s’embrasser à deux

n’implique pas de trigonométrie.

Ce n’est pas comme ça si quatre s’embrassent

chacun aux trois autres,

parce que pour cela ils devront être

ou trois sur un ou un sur trois.

Si un sur trois, il recevra

les trois baisers de l’extérieur.

Si trois en un, ce sera

pour trois embrassés intérieurement.

Ils parviennent à embrasser quatre cercles.

Plus il est petit, plus il est courbé.

La courbure est l’inverse

du rayon, la distance au centre.

Et bien que cela ait étonné Euclide,

aucun axiome n’est nécessaire.

Des lignes droites à courbure nulle,

avec des lignes concaves de signe moins,

est l’addition de ses carrés

demi carré de la somme.

En espionnant des dégâts sphériques,

je regarde l’embrasseur

C’est une tâche laborieuse,

parce que c’est la sphère la plus promiscuité,

et maintenant il y en a plus de quelques paires,

Il y a cinq sphères de baiser.

Mais les signes sont comme avant,

et en osculant chacun un à quatre,

est le carré de la somme

trois fois la somme des carrés.

Après une lecture attentive du poème, parviendrez-vous à le traduire en langage mathématique, c’est-à-dire à formuler le théorème de Descartes, tout comme les lecteurs de Nature?

Avant de le faire, vous pouvez essayer de tracer, avec seulement l’aide d’un compas (physique ou mental), trois cercles de rayons 1, 2 et 3 tangents deux à deux. Quel est le rayon du cercle extérieur tangent à ces trois éléments ? Et celui avec le cercle tangent intérieur ?

Vous pouvez suivre MATÉRIEL dans Facebook, X e Instagramcliquez ici pour recevoir notre newsletter hebdomadaire.

_