Le 11 mars, la combinaison gagnante dans le Bonoloto Il s’est avéré être presque identique à celui obtenu deux jours plus tôt, le 9 mars. Les numéros du premier tirage ont été répétés : 08, 21, 23, 40, 43, 47… A l’exception du 43 qui est devenu 28. Le numéro complémentaire (26) et le remboursement (7) ont également été répétés. Cette coïncidence a déclenché toutes les alarmes et des accusations ont commencé sur la possible manipulation du tirage. Mais est-ce vraiment si étrange ce qui s’est passé ?
Le bonoloto est un tirage où les résultats possibles se comptent par millions et la probabilité de toucher une combinaison à six chiffres est très faible, bien inférieure à celle de gagner à la Loterie de Noël : une fois sur 13 983 816 soit une probabilité de 0,0000000715 ou 0,00000715 %, selon la façon dont on veut l’exprimer.
Ces chiffres nous donnent la mesure de l’incertitude sur la survenance d’un événement. Si nous utilisons l’expression entre 0 et 1, 0 indique que l’événement est impossible et 1 que l’événement se produira à coup sûr. Le pourcentage indique le nombre de fois que l’événement se produira si la situation devait se répéter 100 fois. Cette dernière interprétation est connue sous le nom de fréquentiste.
Dans des tirages comme le Bonoloto, chaque nouvelle répétition est complètement indépendante du reste. Cela implique que le tirage n’a pas de mémoire et qu’à chaque fois que les numéros sont extraits, une combinaison spécifique a la même probabilité de sortir. Peut-être aurions-nous été moins surpris si au lieu de sortir les mêmes numéros il en était sorti des numéros consécutifs —09, 22, 24, 41, 44 et 48— ; ou si une combinaison de nombres était sortie où ils étaient tous pairs, ou tous étaient premiers… Cela se produit à cause de quelque chose appelé “le sophisme du joueur», un biais cognitif qui nous fait penser que ce qui vient de se passer a plus de mal à se reproduire.
Le sophisme du joueur est un biais cognitif qui nous fait penser que ce qui vient de se passer est plus difficile à reproduire.
Il est vrai aussi que sûrement, quand ce résultat nous surprend autant, c’est parce que nous l’interprétons d’une autre manière. Si nous comparons la probabilité de lancer ce numéro – en général – avec la probabilité de lancer n’importe quel autre numéro, évidemment ce dernier gagne. Parce que tout autre nombre qui sort accumule la probabilité de toutes les valeurs, sauf celle en question et cette probabilité est très élevée. Plus précisément, 1 moins la probabilité d’une combinaison, qui est pratiquement 1. Donc, oui, vu comme ça, il était plus probable qu’un autre nombre sorte que celui qui est sorti. Mais cela, encore une fois, vaut pour n’importe quelle combinaison.
On peut se demander comment cela a pu arriver si souvent dans le temps. Selon les lois de la probabilité, combien de tirages faut-il avoir pour que nous revoyions un numéro déjà sorti ? Une simplification très grossière de cela serait de lancer une pièce de monnaie et de penser au nombre de fois que vous auriez à la lancer pour qu’elle revienne face.
En tenant compte de la probabilité d’une extraction spécifique, le temps moyen qu’il faut attendre pour observer une valeur, une en particulier, quelle qu’elle soit, est de 13 983 816 tirages. Pas étonnant, étant donné que c’est le nombre de combinaisons possibles.
Tout autre numéro était plus susceptible d’apparaître, mais cela vaut pour n’importe quelle combinaison
Cela semble long, n’est-ce pas ? Il est donc étrange que cela se soit produit si souvent… Eh bien, encore une fois, la réponse n’est pas tellement. Parce que lorsque nous donnons la moyenne d’une variable, également connue en probabilité sous le nom de valeur attendue, notre esprit s’habitue à l’idée que la répétition se produira après un certain nombre de tirages et seulement après. En d’autres termes, nous pensons que le nombre de répétitions est très probable autour de ce nombre et les valeurs éloignées de cet intervalle de temps sont très peu probables.
Cependant, ce n’est pas vrai dans ce cas, car le temps entre les répétitions peut prendre n’importe quelle valeur avec une très faible probabilité. En fait, même si sa moyenne est un nombre spécifique, les valeurs faibles – c’est-à-dire des temps courts entre les répétitions – sont un peu plus probables que les plus élevées, bien que, dans tous les cas, la probabilité soit très faible.
Bref, l’événement était rare, oui, mais comme tout autre événement, toute autre combinaison et à tout autre moment. Ceci, couplé à l’idée que l’explication la plus simple est toujours la bonne, m’amène à croire que truquer le tirage n’est pas la possibilité la plus probable.
Anabel forte Elle est professeur titulaire à l’Université de Valence.
Gouvernail Agate Garcia-Longoria est coordinateur de l’unité de culture mathématique de l’ICMAT
Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres expressions sociales et culturelles et se souvenir de ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».
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