Le paradoxe de Simpson | Le jeu des sciences

Concernant le paradoxe d’Ellsberg, vu la semaine dernière, voici ce que dit notre « utilisateur vedette » Manuel Amorós :

Nous pourrions penser que la situation des boules jaunes et noires est symétrique et, par conséquent, la probabilité de tirer du jaune est la même que celle de tirer du noir, ce qui, ajouté au fait que la probabilité de tirer du rouge est de 1/3, nous amène à à cela les trois probabilités sont égales. Dans ce cas, il est indifférent de choisir A ou B. Et quelque chose de similaire se produit dans le deuxième choix, où la probabilité de gagner est de 2/3 dans les deux cas.

Je comprends que la situation proposée serait équivalente à la suivante : nous avons 61 urnes. Dans chacun d’eux, il y a 30 boules rouges. Dans la première urne il y a aussi 0 boule noire et 60 boules jaunes ; dans le second, 1 blanc et 59 jaunes, etc. Une urne est choisie au hasard et une boule est tirée. Modélisés ainsi, on voit que les trois couleurs ont la même probabilité et le mystère disparaît.

(Je suis sûr que mes lecteurs avisés remarqueront certains parallèles avec le problème des boules noires et blanches d’Abdul, dans The Condemned Man and the Urns, dédié à George Gamow).

Effet Noël-Simpson

La théorie de la décision, liée au calcul des probabilités, donne lieu à d’autres paradoxes intéressants. Regardons un exemple :

Vous devez réussir trois tests consécutifs. Dans le premier test, il y a deux sacs, A1 et B1, dans lesquels se trouvent respectivement 6 boules blanches et 5 boules noires, et 4 boules blanches et 3 boules noires. Vous devez choisir un des deux sacs (dont vous connaissez le contenu) et tirer une boule au hasard. S’il est noir, vous êtes éliminé, et s’il est blanc, vous passez à l’épreuve suivante.

Dans le deuxième test, il y a deux autres sacs, A2 et B2, dans lesquels se trouvent respectivement 3 boules blanches et 6 boules noires, et 5 boules blanches et 9 boules noires. Vous choisissez un sac, vous y mettez la main et si vous en retirez une boule blanche, vous passez au test suivant.

Dans la troisième épreuve, vous devez choisir entre le sac A, dans lequel les boules de A1 et A2 ont été rassemblées, et le sac B, dans lequel les boules de B1 et B2 ont été rassemblées (après réintroduction des boules prises précédemment). . , et encore une fois, vous gagnez si vous tirez une boule blanche. Quel sac choisiriez-vous dans chaque cas ? Êtes-vous surpris par votre propre réponse ? Parce que?

Este experimento ilustra una paradoja de la teoría de la decisión, bien conocida por los estadísticos, denominada “paradoja de Simpson” en honor al recientemente fallecido matemático británico Edward H. Simpson, famoso por ser el criptoanalista que descifró los mensajes de la Armada italiana durante la seconde Guerre mondiale. En fait, le paradoxe avait déjà été évoqué en 1903 par le statisticien écossais George Udny Yule, et, en revanche, certains ne le considèrent pas comme un paradoxe en soi, c’est pourquoi ils préfèrent l’appeler « l’effet Yule-Simpson ». .»

Outre l’expérience décrite, de nombreuses situations réelles illustrent cet effet trompeur. L’un des exemples les plus connus est le procès contre l’Université de Californie à Berkeley, en 1973, pour discrimination à l’égard des femmes. Les résultats des admissions aux cycles supérieurs semblaient clairement discriminatoires :

Hommes : 8 442 candidatures, 3 714 admissions (44%)

Femmes : 4 321 candidatures, 1 512 admissions (35%)

Cependant, une analyse détaillée des données a montré qu’il n’y avait pas eu de discrimination de ce type et la plainte a été rejetée. Comment est-ce possible? Pouvez-vous penser à une ventilation possible des données qui mènerait à cette conclusion ? Et comment définiriez-vous l’effet Yule-Simpson au vu de l’expérience des boules et de ce cas réel de fausse discrimination ? (Indice : l’effet Yule-Simpson est également connu sous le nom de « paradoxe de la fusion » et de « paradoxe du renversement ».)

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