2024-12-01 20:00:00
Roger Bacon disait que « les mathématiques sont la porte et la clé des sciences ». Et il avait raison : puisque calculer l’orbite du satellite à la conception d’un pont qui ne tombe pas, nous leur faisons confiance pour reconstituer le monde qui nous entoure, tout en résolvant des problèmes pratiques. Pendant des siècles, on a pensé que langage parfait et logique Il a su répondre à tout. Pourquoi ne le serait-il pas, si les mathématiques semblent capables de répondre à toutes les questions posées ?
Mais en 1931, un mathématicien nommé Kurt Godel a donné un choc de réalité : les mathématiques ont une limite. Aussi impressionnants soient-ils, il y a des choses qu’ils ne peuvent pas résoudre. Non pas parce qu’ils sont faibles, mais parce qu’il existe des problèmes qui, par essence, sont insolubles. Cette découverte, connue sous le nom de téorame de l’incomplétude de Gödela ébranlé les fondements des sciences exactes et a changé notre manière d’appréhender la connaissance.
LE PUZZLE INFINI DE GÖDEL
Le théorème de Gödel peut paraître compliqué (et il l’est pour les mathématiciens), mais son essence est étonnamment simple. Pour comprendre cela, imaginez que les mathématiques sont comme un jeu avec des règles très précisescomme les échecs. Ce « jeu » comporte un ensemble de règles et de principes que nous utilisons pour résoudre des problèmes : additionner, multiplier, calculer des aires, résoudre des équations… tout cela.
Ce que Gödel a démontré, c’est que, aussi complètes et précises que soient les règles de ce jeu, il y aura toujours des questions qui ne peuvent être résolues au sein du système. Autrement dit, il y aura des vérités inaccessibles avec ces règles. Sa découverte peut être divisée en deux grandes idées :
D’une part : il y a des vérités qui ne peuvent être prouvées. Gödel a montré que dans tout système mathématique suffisamment complexe (comme celui que nous utilisons pour l’arithmétique), certaines affirmations sont vraies, mais que nous ne pouvons pas prouver en utilisant uniquement les règles de ce système. Pensez-y comme à un puzzle : vous avez toutes les pièces, mais il y a une figure que vous ne pourrez jamais terminer parce que les pièces dont vous disposez ne suffisent pas pour la résoudre.
Shelby White et Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Study, Princeton (en dépôt à l’Université de Princeton
Et d’autre part : un système ne peut pas garantir sa propre cohérence. Cela signifie que les mathématiques, aussi logiques et ordonnées soient-elles, ne peuvent pas prouver par elles-mêmes qu’elles ne contiennent pas d’erreurs ou de contradictions. C’est comme essayer de construire une tour avec des dominos et se demander ensuite si elle est vraiment stable, mais sans quitter la tour pour la voir de l’extérieur.
Et comment Gödel est-il arrivé à cette conclusion ? Il a utilisé une idée géniale : il a créé une sorte de “paradoxe“les mathématiques au sein du système. C’était comme si les mathématiques se regardaient dans le miroir et découvraient que Ils ne pouvaient pas tout expliquer. Ce paradoxe s’apparente à l’énoncé classique : «Cette phrase est fausse“Si c’est faux, alors ce serait vrai… mais si c’est vrai, alors ce serait faux. Gödel a appliqué cette logique aux mathématiques et a prouvé qu’il y aura toujours des questions sans réponse.
AU-DELÀ DES CHIFFRES
Vous vous demandez peut-être : “Et ceci qu’est-ce que ça a à voir avec moi Si je ne suis pas mathématicien ?” La réponse est : plus que vous ne le pensez. Le théorème de Gödel n’a pas seulement changé les mathématiques ; il nous a également obligé à repenser la façon dont nous comprenons la connaissance, la logique et même l’univers lui-même.
Shelby White et Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Study, Princeton (en dépôt à l’Université de Princeton
Kurt Gödel et Einstein étaient de très bons amis et ils se promenaient souvent ensemble tout en discutant vers et depuis l’Institute for Advanced Study de Princeton.
Par exemple, en informatique, Alan Turing, le père de l’informatique moderne, s’est inspiré des travaux de Gödel pour démontrer que les ordinateurs ont des limites fondamentales. Bien qu’il s’agisse de machines extrêmement puissantes, il existe des problèmes qui ne pourront jamais être résoluspeu importe leur rapidité ou leur niveau d’avancement. Cela signifie que, même dans un avenir où l’intelligence artificielle sera plus sophistiquée, il y aura toujours des tâches qui seront hors de votre portée. Les machines ne sont pas (et ne seront pas) omnipotentes.
Un autre exemple est celui de la philosophie : le théorème de Gödel nous fait réfléchir sur limites de la connaissance humaine. Si même les mathématiques ne sont pas complètes, quels autres domaines de la connaissance cachent des mystères que nous ne pourrons jamais résoudre ? Cela nous invite à nous demander : y a-t-il des choses dans l’univers qui simplement dépassent notre compréhension? Gödel a rompu avec l’idée selon laquelle la raison et la logique pouvaient tout expliquer.
En science également, en physique pour être plus précis, la découverte de Gödel nous rappelle que même les théories les plus complètes peuvent laisser des questions sans réponse. Par exemple, la théorie du big bangaussi solide soit-il, a ses propres limites : il ne peut pas expliquer ce qui était « avant » le commencement de l’univers.
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