Des mathématiciens armés de supercalculateurs ont enfin identifié la valeur d’un nombre complexe que l’on croyait auparavant impossible à calculer.
Le nombre, connu sous le nom de « neuvième nombre Dedekind » ou D(9), est en fait le 10e d’une séquence. Chaque nombre de Dedekind représente le nombre de configurations possibles d’un certain type d’opération logique vrai-faux dans différentes dimensions spatiales. (Le premier nombre de la séquence est D(0), qui représente zéro dimension. C’est pourquoi D(9), qui représente neuf dimensions, est le 10ème nombre de la séquence.)
Les nombres de Dedekind deviennent exponentiellement plus grands pour chaque nouvelle dimension, ce qui les rend de plus en plus difficiles à cerner. Le huitième nombre de Dedekind, qui suit les mêmes règles pour les huit dimensions, a été calculé en 1991. Mais en raison du saut de puissance de calcul nécessaire pour calculer le neuvième, certains mathématiciens ont jugé impossible de calculer sa valeur exacte.
Mais maintenant, deux études indépendantes de groupes de recherche distincts – le d’abord soumis au serveur de prépublication arXiv le 5 avril et le deuxième soumis au même serveur le 6 avril — ont fait l’impossible. Les études – chacune utilisant un supercalculateur mais exécutant des programmes différents – ont toutes deux produit exactement le même nombre.
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Les résultats n’ont pas encore été évalués par des pairs. Mais parce que les études sont arrivées à la même conclusion, il est “certain à 100%” que le nombre a été correctement déchiffré, auteur principal du deuxième article, Lennart Van Hirtummathématicien de l’Université de Paderborn en Allemagne et auteur principal du deuxième article, a déclaré à Live Science.
Van Hirtum et ses collègues ont défendu leur travail lors d’un conférence à l’Université de Paderborn le 27 juin.
Que sont les nombres de Dedekind ?
Les nombres de Dedekind ont été décrits pour la première fois par le mathématicien allemand Richard Dedekind au 19ème siècle. Les nombres sont liés à des problèmes logiques connus sous le nom de “fonctions booléennes monotones” (MBF).
Les fonctions booléennes sont une sorte de logique qui peut prendre en entrée une seule des deux valeurs – 0 (faux) et 1 (vrai) – et cracher uniquement ces deux valeurs. Dans les MBF, vous pouvez échanger un 0 contre un 1 dans l’entrée, mais uniquement si cela permet à la sortie de passer d’un 0 à un 1, et non d’un 1 à un 0. Les nombres Dedekind sont la sortie des MBF où l’entrée est un dimension spatiale spécifique.
Ce concept peut être assez déroutant pour les non-mathématiciens. Mais il est possible de visualiser ce qui se passe en utilisant des formes pour représenter les nombres Dedekind pour chaque dimension, a expliqué Van Hirtum. Par exemple, dans la deuxième dimension, le nombre de Dedekind se rapporte à un carré, tandis que le troisième peut être représenté par un cube, le quatrième et plus par des hypercubes.
Pour chaque dimension, le sommet, ou les points, d’une forme spécifique représentent les configurations possibles des MBF (voir image ci-dessous). Pour trouver le nombre Dedekind, vous pouvez compter combien de fois vous pouvez colorer chaque sommet de chaque forme avec l’une des deux couleurs (dans ce cas, le rouge et le blanc), mais avec la stipulation qu’une couleur (dans ce cas, le blanc) ne peut pas être placée au-dessus de l’autre (dans ce cas rouge).
Pour les dimensions nulles, la forme n’est qu’un seul point et D(0)=2 car le point peut être rouge ou blanc. Pour une dimension, la forme est une ligne avec deux points et D(1)=3 car les deux points peuvent être soit de la même couleur, soit rouge sur blanc. Pour deux dimensions, la forme est un carré et D(2)=6 car il y a maintenant six scénarios possibles où aucun point blanc n’est au-dessus d’un point rouge. Et pour trois dimensions, la forme est un cube, et le nombre de configurations possibles passe à 20, donc D(3)=20.
À mesure que le nombre de dimensions augmente, la forme hypothétique devient un hypercube de plus en plus complexe avec un nombre exponentiellement plus grand de résultats, a déclaré Van Hirtum.
Les valeurs des cinq nombres Dedekind suivants sont 68, 7581, 7828354, 2414682040998 et 56130437228687557907788.
La valeur nouvellement identifiée pour D(9) est 286386577668298411128469151667598498812366.
Des calculs de plus en plus complexes
Van Hirtum travaille sur l’identification de D(9) depuis plus de trois ans. Pour ce faire, il a créé un nouveau type de programme informatique permettant à un supercalculateur de traiter les données d’une manière spécifique. S’il avait utilisé un programme plus basique, cela aurait pu prendre jusqu’à 100 ans pour effectuer les calculs, même avec une machine avancée qui calcule les chiffres, a-t-il déclaré.
Après avoir créé son code informatique, l’équipe de Van Hirtum a passé plus de quatre mois à utiliser le supercalculateur de l’Université de Louvain en Belgique pour traiter les données.
Cependant, les calculs n’ont pas pris autant de temps : la nature du programme signifiait qu’il était susceptible de faire des erreurs en cours de route, ce qui signifiait que l’équipe devait constamment recommencer le travail, a déclaré Van Hirtum.
En comparaison, l’ordinateur utilisé en 1991 pour calculer D(8) était moins puissant qu’un smartphone moderne et a effectué la tâche en environ 200 heures. Un ordinateur portable moderne aurait probablement pu exécuter ces calculs en moins de 10 minutes, a déclaré Van Hirtum.
Van Hirtum pense qu’un saut similaire dans la puissance de traitement informatique sera nécessaire pour calculer le 10e nombre de Dedekind. “Si nous le faisions maintenant, cela nécessiterait une puissance de traitement égale à la puissance de sortie totale du soleil”, a-t-il déclaré, ce qui rend “pratiquement impossible” le calcul.
Les besoins en puissance de traitement pourraient être réduits en utilisant des algorithmes plus complexes, a déclaré Van Hirtum.
“Mais nous avons en quelque sorte heurté un mur avec la complexité des algorithmes”, a-t-il ajouté.
Cependant, d’autres mathématiciens espèrent toujours que D(10) pourra éventuellement être calculé, a déclaré Van Hirtum.
2023-07-11 17:31:58
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