Les mystères de la cycloïde, une des courbes les plus présentes dans la nature | Café et théorèmes | Science

Ce jour-là, le 19 juin, il y a 400 ans, le mathématicien, physicien, philosophe, théologien et inventeur Blaise Pascal est né à Clermont (France). L’état de santé délicat dans lequel il a vécu toute sa vie ne l’a pas empêché d’apporter de nombreuses contributions à la géométrie, aux probabilités, à la combinatoire et à la mécanique des fluides. En l’honneur de ses contributions dans ce dernier domaine, l’unité de mesure de la pression dans le Système international d’unités est connu sous le nom de pascal. De plus, bien qu’elles soient moins populaires, il a également apporté de profondes contributions à l’une des courbes les plus présentes dans la nature : la cycloïde. Ses idées ont anticipé de quelques années le développement du calcul infinitésimal, une théorie fondamentale des mathématiques modernes et de ses applications.

Pascal n’a fréquenté aucun collège ni université, mais son père lui a enseigné le latin, le grec, les mathématiques, l’histoire, la philosophie, le droit canon et le droit civil. Dès son plus jeune âge, il a montré des talents en mathématiques et s’est formé avec le Éléments d’Euclide de façon autodidacte. À seulement 19 ans, il a commencé à concevoir une calculatrice mécanique, connue sous le nom de Pascalineafin d’aider son père dans sa fonction de collecteur d’impôts.

C’est dans ses dernières contributions en mathématiques, recueillies dans son correspondance con Pierre de Carcavi —mathématicien et secrétaire de la Bibliothèque nationale de France sous le règne de Louis XIV—, lorsqu’il s’est concentré sur une courbe appelée cycloïde. La cycloïde est la courbe décrite par un point sur un cercle lorsqu’il roule sur une droite sans glisser. Autrement dit, si nous avons une roue et que nous marquons un point sur son bord, en roulant la roue le long d’une ligne droite, le point marqué dessinera une cycloïde.

Comme l’a dit Pascal lui-même, la cycloïde est, avec la ligne droite et la circonférence, l’une des lignes les plus courantes dans la nature. Ainsi, c’est dans le Crêtes de la surface glacée d’Europe, le satellite de Jupiter. Les arcs en forme de cycloïde sont utilisés en architecture; en fait, c’est la raison pour laquelle le célèbre Galileo Galilei était intéressé à en savoir plus sur sa région. De plus, certaines machines emploient réducteurs cycloïdauxcertains engrenages dont le contour est en forme de cycloïdes.

On ne sait pas qui a été la première personne à décrire la cycloïde. La première mention de la cycloïde Est associé un charles debovelles, en 1501 ; mais — comme l’affirme le mathématicien et historien Paul Tannery —, « dans la courbe à double mouvement de Carpo [de Antioquía] il est difficile de ne pas reconnaître la cycloïde, dont la simple génération n’a pu échapper aux anciens.

Les premières études publiées sur les propriétés de la cycloïde sont par Galileo. Plus précisément, il a estimé expérimentalement l’aire délimitée par la courbe : il a généré une cycloïde en faisant rouler un disque métallique, a fabriqué une pièce du même métal avec la forme de l’aire sous ladite cycloïde, et a comparé les poids du disque et de ladite pièce. . Son résultat – 3π fois le carré du rayon du disque – a été montré indépendamment par Pierre de Fermat y Gilles de Roberval.

Mais Pascal s’est rendu compte qu’il est intéressant de connaître les propriétés non seulement de la cycloïde complète, mais aussi de ses arcs, et de l’aire et du volume qu’ils enferment. Il a pu déterminer l’aire et le centre de gravité de la figure plate entourée d’un arc cycloïde – dans la figure inférieure, elle correspond à la partie ombrée. De plus, il a calculé les volumes et les centres de gravité des figures tridimensionnelles qui sont générées en faisant tourner cette figure plate autour de son axe vertical ou horizontal.

Pour ce faire, Pascal s’est servi de la méthode indivisible, qui était déjà utilisé par les anciens Grecs. Cette méthode est basée sur la considération des lignes comme des “sommes” de points, des figures planes comme des “sommes” de lignes et des figures tridimensionnelles comme des “sommes” de figures planes. Ces idées ont été affinées quelques années plus tard par Isaac Newton et pour Gottfried Wilhelm Leibnizdans ses développements du calcul infinitésimal.

Ses résultats sur la cycloïde et d’autres de ses nombreuses contributions dans différents domaines sont expliqués chronologiquement par l’historien et écrivain Donald Adamson dans Blaise Pascal : mathématicien, physicien et penseur de Dieu. En effet, en plus d’apporter de brillantes contributions en mathématiques et en philosophie, il réalisa d’importantes expériences en physique, qui conduiront à l’invention de la presse hydraulique ou de la seringue. La trajectoire de Pascal et l’histoire de la cycloïde sont un échantillon de la façon dont les connaissances théoriques et pratiques sont inséparables.

Asier Lopez Gordon est chercheur prédoctoral à l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT)

Agate A. Gouvernail Garcia-Longoria est coordinateur de l’unité de culture mathématique de l’ICMAT

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elle est créée, coordonnée par l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres expressions sociales et culturelles et se souvenir de ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».

Édition et coordination : Agate A. Gouvernail G Longoria (ICMAT).

Vous pouvez suivre MATÉRIEL dans Facebook, Twitter e Instagrampointez ici pour recevoir notre newsletter hebdomadaire.