Les nombres anormaux déroutants | Science

Notre commentateur régulier Rafael Granero donne les réponses suivantes aux questions de la semaine dernière :

Les nombres dont les logarithmes décimaux sont compris entre 0 et 2 sont ceux qui sont compris entre 1 et 100. En effet :

logd(1) = 0

logd(100) = 2

Par conséquent, tout nombre x qui satisfait 1

Logarithme décimal de 0,01

Le logarithme décimal de 0,01 est -2.

Cela peut être compris comme suit : logd(0.01) = logd(1/100) = logd(1) – logd(100) = -2

Logarithmes décimaux de 9, 30 et 1/3

Sachant que logd(3) = 0.477, on peut calculer les autres :

Logarithme décimal de 9 : logd(9) = logd(3^2) = 2 * logd(3) = 2 * 0,477 = 0,954

Logarithme décimal de 30 : logd(30) = logd(3 * 10) = logd(3) + logd(10) = 0,477 + 1 = 1,477

Logarithme décimal de 1/3 : logd(1/3) = logd(1) – logd(3) = -0,477

De son côté, Manuel Amorós trouve de cette manière ingénieuse la valeur de x lorsque x élevé à la puissance x3 est égal à 3 :

x^(x^3) = 3

(x^(x^3))^3 = 3^3

(x^3)^(x^3) = 3^3

x^3 = oui

y^y = 3^3

y = 3, ergo x = racine cubique de 3

Et Bretos Bursó propose une interprétation intéressante du nombre e, la base des logarithmes népériens qui, bien qu’elle ne convienne qu’aux personnes ayant certaines connaissances mathématiques, je n’ai pas résisté à la tentation de l’inclure :

Supposons que nous voyons une file arbitrairement longue de personnes se former au hasard et que nous soyons toujours capables de distinguer, étant donné deux personnes, laquelle est la plus grande (aussi petite que soit la différence). Nous comptons le nombre de personnes qui arrivent jusqu’à ce que la dernière à arriver soit supérieure à l’avant-dernière (ce nombre sera toujours supérieur ou égal à 2). Donc:

– la valeur attendue ou moyenne de cette quantité variable est le nombre e.

– la probabilité que cette dernière personne soit également supérieure à toutes les précédentes est e-2.

(Chacune des deux affirmations précédentes est équivalente à la somme de la série de 1/n ! car n = 0, 1, 2, 3… est le nombre e).

La loi des nombres anormaux

Comme nous l’avons vu, les tables logarithmiques, en permettant la conversion des multiplications en additions et des divisions en soustractions, facilitaient considérablement les calculs lorsqu’il n’y avait pas d’ordinateurs ; mais elles sont depuis longtemps tombées en désuétude, tout comme les merveilleuses règles à calcul qui se cachaient dans la poche de poitrine de tout ingénieur qui se respecte.

Au XIXe siècle, les tables de logarithmes figuraient parmi les manuels les plus consultés de toute bibliothèque technique ou scientifique, et cette utilisation continue a permis au grand astronome et mathématicien Simon Newcomb de remarquer que les premières pages de tous les tableaux qu’il examinait montraient davantage de signes d’utilisation. que le suivant, et que le niveau d’utilisation diminuait régulièrement au fur et à mesure que les pages se tournaient. Cela signifiait qu’on consultait plus de nombres commençant par 1 que par tout autre chiffre, suivis en quantité par ceux commençant par 2, puis arrivaient ceux commençant par 3…

A partir de ses observations, Newcomb a énoncé une loi sur la fréquence des nombres par rapport aux mantisses (parties décimales) de leurs logarithmes, ce qui lui a permis d’estimer que la probabilité qu’un nombre tiré du monde réel commence par 1 est d’environ 30%, la probabilité de commencer par 2 est de 18%, la probabilité de commencer par 3 est de 12%… et ainsi de suite, toujours décroissante, jusqu’à atteindre 9, dont la probabilité de se diriger vers un nombre n’atteint pas 5%.

Les conclusions contre-intuitives de Newcomb furent oubliées jusqu’à ce qu’en 1938 l’ingénieur américain Frank Benford, après avoir vérifié plus de 20 000 chiffres provenant de 20 échantillons différents (tels que le nombre d’habitants d’une liste de villes, les cours boursiers, les constantes physiques, les poids moléculaires, les taux de mortalité). , numéros d’adresse postale…), énonce ce qu’il appelle la « loi des nombres anormaux », aujourd’hui connue sous le nom de loi de Benford (même si certains d’entre nous préfèrent l’appeler loi de Benford-Newcomb), selon laquelle le premier nombre n de un échantillon de nombres tirés du monde réel apparaît avec une probabilité donnée par la formule : logd(n+1) – logd(n). (En raison de limitations typographiques, le logarithme décimal est indiqué par logd.)

Les premiers chiffres ne devraient-ils pas être répartis également entre les neuf chiffres (évidemment, zéro est exclu) ? Pourquoi le nombre d’habitants d’une ville commence-t-il plus probablement par 1 que par 9 ? Pouvez-vous penser à une explication à ce résultat apparemment arbitraire ?