Les nombreuses façons d’aborder un problème

Revenons sur le sujet fascinant de la façon dont nous pouvons aborder un problème sous plusieurs angles différents.

Nous avons précédemment exploré comment un problème, par exemple géométrique, peut être résolu de plusieurs manières, en utilisant les différents outils dont nous disposons. Cela nous donne un « style » de procéder : il y a ceux d’entre nous qui sont très prudents et méthodiques même si cela prend plus de temps, et il y a ceux qui voient une solution rapide et élégante à vol d’oiseau.

Nous avons également mentionné comment nous pouvons aborder un problème par essais et erreurs, lorsque nous avons du mal à le traduire rapidement en équations.

Et nous avons même donné des exemples sur la façon de faire ce que nous appelons pièges créatifs : sortir des sentiers battus pour inventer des méthodes que même celui qui a soulevé le problème n’avait pas envisagé.

Aujourd’hui, nous verrons une autre variante : comment le même problème peut être posé à différents niveaux de compréhension mathématique. Autrement dit, un enfant peut aborder un problème de manière progressivement plus sophistiquée, dans le sens des outils qu’il utilise, mais l’assimile conceptuellement dès le début.

LE PROBLÈME

L’un des types de problèmes les plus anciens à pratiquer est ce qu’on appelle le « problème de distribution », qui divise une quantité X en plusieurs fractions qui doivent être additionnées. J’ai déjà montré des exemples très anciens, venant des Babyloniens et des Grecs. L’exemple que nous prendrons est très beau et est présenté dans un texte plus moderne, le Les énigmes de Moscou (1956), une magnifique compilation du mathématicien Boris Kordemski.

Dans la meilleure tradition classique, il pose le problème avec une histoire drôle :

Une oie volait lorsqu’elle rencontra un troupeau d’oies venant en sens inverse. « Bonjour, cent oies ! » les salua-t-il.

Le chef du troupeau répondit : « Nous ne sommes pas cent ! Mais si vous prenez deux fois le nombre d’oies que nous sommes, et que vous ajoutez la moitié de ce nombre, puis vous ajoutez un quart de ce nombre et ensuite vous vous ajoutez, oui, nous sommes cent.

L’oie n’était pas très douée en calcul, alors quand il a vu une grue chassant des grenouilles, il a décidé d’atterrir et de lui demander son avis, car comme nous le savons… les grues sont très douées en mathématiques.

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C’est la fin de la démarche. Nous allons maintenant le résoudre de trois manières, de la plus simple à la plus sophistiquée : la première sera par approximations (solution algorithmique), la seconde sera celle montrée par Kordemski, qui est une solution graphique, et enfin la « adulte »solution qui est algébriquement.

SOLUTION ALGORITHMIQUE

Le défi peut être posé sans problème à un enfant de troisième année, à condition qu’il connaisse les opérations arithmétiques de base.

Pour trouver la solution, on crée simplement un tableau pour tester les valeurs jusqu’à trouver la valeur finale.

L’idée est très simple : trouver un nombre qui, si vous le multipliez par 2, ajoutez la moitié, puis un quart et enfin 1, vous donne 100. La chose devient plus simple quand on remarque qu’on ne peut prendre en compte que des nombres qui sont possibles. diviser par 4.

Il ne faut pas non plus beaucoup d’essais pour se rendre compte que ce nombre doit être inférieur à 50, car en le multipliant simplement par 2, nous sommes déjà allés trop loin. Et on voit aussi que 30 est assez petit, donc on a déjà une plage qui réduit beaucoup de travail. En faisant quelques expériences on arrive à la valeur :

Faire le tableau n’est pas compliqué, et l’essentiel pour l’enfant est de se rendre compte qu’en faisant quelques observations (multiples de 4, nombres dans un petit intervalle), le problème devient beaucoup plus simple qu’il n’y paraît au premier abord.

SOLUTION GRAPHIQUE

La solution de la grue à l’oie est extraordinairement élégante : une solution graphique qui montre clairement pourquoi :

Avec son long bec, la grue trace plusieurs rayures sur le sol : deux longues rayures égales, une moitié de cette taille, une autre un quart de cette taille et une très petite, presque comme une pointe. Nous pouvons le visualiser ainsi :

La grue dit que la ligne la plus longue représente le nombre total d’oies dans le troupeau et donc toutes les lignes ensemble, plus le point, représentent 100 unités. Puis il dit que sachant cela, il faut tout considérer par quartiers. C’est:

Une fois visualisée ainsi, la grue demande à l’oie : « Combien de pièces voyez-vous là ? L’oie répond qu’il y en a 11. La grue dit que ces 11 pièces équivalent à 99 oies, alors combien d’oies y a-t-il dans une de ces pièces ?

L’oie répond qu’il y en a 9.

“Très bien!” ” dit la grue, ” alors combien d’oies représente un troupeau ?

L’oie voit la lumière : « Ils sont en 9×4, bien sûr ! »

C’est une très belle façon d’aborder un problème qui est en principe arithmétique, mais on peut le traduire en une représentation visuelle claire et le comprendre immédiatement.

Enfin:

SOLUTION ALGÉBRIQUE

Quand on en sait déjà un peu plus sur les mathématiques, la première chose qui vient à l’esprit est de créer une équation, ce qui est une manière plus « adulte » de procéder. Le problème reste cependant suffisamment accessible pour être posé à un enfant de sixième, qui sait déjà utiliser les fractions et qui n’a aucun problème à comprendre ce qu’est une inconnue :

x = nombre d’oies dans le troupeau

L’équation du problème est construite comme ceci :

2x + x/2 + x/4 + 1 = 100

Mettre le tout avec un dénominateur de 4 et résoudre :

8x/4 + 2x/4 + x/4 + 1 = 100

11x/4 + 1 = 100

11x/4 = 99

11x = 396

x = 36

Ainsi, nous pouvons voir qu’un problème que nous considérons normalement comme algébrique peut être posé tôt et utiliser des outils plus simples, progressant progressivement jusqu’à pouvoir être traité de manière plus abstraite. L’inclusion de l’ensemble de ce processus permet une compréhension plus intime.

Je suis née au Mexique et vis en Chine depuis 2000, où j’ai étudié la langue et l’histoire, puis j’ai été chercheuse invitée au Centre international d’économie et de finance Wan Lin Jiang, ainsi que professeur d’économie et d’histoire pour étrangers. à l’Université du Zhejiang. Je dirige actuellement le Centre Mexique-Chine et donne des conférences sur la science et la coopération technologique internationale.