Les puzzles MacMahon | Le jeu de la science

Pour déterminer le nombre de concepts carrés de MacMahon que Fermi aurait souhaité):

«3 couleurs prises à partir de 4 en 4 donnent en conséquence 81 combinaisons. À ces 81, vous devez enlever les combinaisons qui, tournant le carré, se traduit par des figures de couleur égale. Nous avons 3 résultats avec tous les triangles de la même couleur. Ceux-ci passent le filtre.

Nous avons 6 résultats avec deux couleurs disposées de manière alternative (charrue, par exemple), de celles-ci, nous devons garder 3 et mépriser les 3 autres qui sont générés en atteignant 90 °.

Du reste, 72, qui ont 3 couleurs disposées non symétriquement ou 2 couleurs symétriquement non alternatives (AAR, par exemple), 3 sur 4 sont le résultat d’une transmission de 90 °, 180 ° et 270 ° de degrés, donc donc Nous sommes restés avec 18 et mépris 54.

81 – 3 – 54 = 24 = 3 + 3 + 18

Autrement dit, le nombre de combinaisons différentes lors de la coloration avec trois couleurs, un carré divisé en quatre triangles égaux est de 24 pouces.

Mais, comme le souligne Juan Zubieta, si le récit de l’ancien (même s’il est avancé) semble excessivement rudimentaire, nous pouvons recourir à la devise de Burnside (mais c’est un autre article).

À l’heure actuelle, concentrons-nous sur les possibilités combinatoires intéressantes des carrés multicolores, qui se prêtent à proposer différents défis. Par exemple, pouvez-vous former avec eux un rectangle de 6˟4 de telle sorte que les côtés des pièces en contact sont toujours de la même couleur et que le périmètre entier du rectangle est également de la même couleur?

Il existe également des possibilités combinatoires intéressantes utilisant une partie unique des carrés. Par exemple:

-Avec les 15 pièces de seulement une ou deux couleurs, construisez un rectangle de 3˟5.

-Avec les 9 pièces restantes, trois couleurs, construisez un carré de 3˟3.

Comme dans le premier puzzle, les côtés en contact doivent toujours être de la même couleur.

Et en plus des puzzles en solo comme les précédents, les carrés de MacMahon se prêtent à proposer des jeux différents pour deux joueurs inspirés par des dominos (pensez-vous à l’un?).

Dans les magasins spécialisés, il existe des versions en bois ou en plastique des carrés multicolores. Et il n’est pas difficile d’improviser une version maison (par exemple, imprimer une image des 24 carrés tirés du réseau, le frappant sur une feuille de carton et la coupe des pièces).

Du carré au cube

En passant de l’avion à l’espace, et comme extension du thème des carrés de MacMahon, il est possible de demander combien de façons différentes nous pouvons colorer les six côtés d’un cube en utilisant trois couleurs. Et la réponse est 57 (pouvez-vous le prouver?).

Une façon de résoudre le problème est de commencer par le cas trivial d’une seule couleur (évidemment, il n’y a qu’une seule façon de colorer un cube en utilisant une seule couleur), continuez avec deux couleurs (combien de cubes différents peuvent être en blanc et / ou noir?), Résolvez le cas des 57 cubes avec trois couleurs … et, pour télécharger une note, obtenir une formule générale pour n couleurs.