2024-09-06 12:56:23
Notre commentateur régulier Manuel Amorós a simplifié la résolution du problème des bœufs, posé la semaine dernière, d’une manière ingénieuse qui aurait sans doute plu à Newton lui-même :
«Je vais proposer une procédure algébrique avec laquelle vous n’aurez pas trop à vous creuser la tête. Supposons que la hauteur initiale de l’herbe soit h et que le taux de croissance hebdomadaire soit v. On peut alors établir les proportions suivantes.
10/3(h + 4v)————–12 bœufs———4 semaines
10(h + 9v)——————21 bœufs———————————-9 semaines
24(h + 18v)——————x bœufs——————-18 semaines
Des deux premiers on obtient la relation h = 12v
Finalement, nous pouvons résoudre x = 36
En utilisant la même procédure, je pense que dans le deuxième cas, 100 est la solution.
Dans le même esprit d’économie d’énergie mentale, Susana Luu déclare :
« L’aiguille longue fait un tour par heure et l’aiguille courte fait un tour toutes les 12 heures. Supposons que 5 minutes se soient écoulées depuis midi. L’aiguille longue sera à la minute 5, mais l’aiguille courte n’est plus à la minute 0, mais un peu plus loin, ce n’est donc pas un résultat valide. Si nous laissons passer encore « presque 5 minutes » (un peu moins de 5 minutes), l’aiguille longue indiquera presque 2 heures, mais l’aiguille courte sera désormais en retard. Encore une fois, ce n’est pas un résultat valide, mais en supposant une continuité, l’aiguille courte, qui va de l’avant du résultat valide au retard du résultat valide, affichera à un moment donné un résultat valide. Il est facile de calculer explicitement ce moment, mais il n’est pas nécessaire de savoir qu’il existe. Le même raisonnement s’applique à tous les intervalles de 5 minutes suivants, à la seule exception des deux intervalles quotidiens où l’on arrive à 12 heures. Il y aura donc autant de moments valables par jour qu’il y a d’intervalles de 5 minutes dans 24 heures moins 2. Total : 286″.
Soit 143 toutes les 12 heures. Et Manuel Amorós précise :
« Chaque position de solution est formée par la position de deux aiguilles, mais le fait que les aiguilles coïncident n’implique pas qu’il s’agisse de deux solutions en une, c’est UNE solution comme les autres. Ce qui se passe, c’est qu’il existe une autre solution qui aboutit également à la même position des aiguilles au point initial, donc en réalité il y a 43 solutions. Quelle est cette autre solution ?
De son côté, Francisco Montesinos considère que le mouvement de l’aiguille des minutes n’est pas continu (horloge électrique), mais plutôt par sauts d’une minute (horloge mécanique), ce qui introduit une variante intéressante (voir commentaires de la semaine dernière).
Puisque nous avons récemment résolu (ou du moins essayé de résoudre) plusieurs problèmes algébriques, c’est le bon moment pour se rappeler que, lorsqu’on passe de l’arithmétique élémentaire à l’algèbre, les fameuses « quatre opérations » ne suffisent généralement plus. Tout comme une addition avec l’addition répétée est une multiplication, une multiplication avec le facteur répété est une puissance. Et de même que l’addition a son opération inverse dans la soustraction et la multiplication dans la division, la potentialisation a son contraire dans l’établissement, c’est-à-dire l’obtention de racines carrées, cubiques, etc. Il y a déjà six opérations… Quelle est la septième ? (Même si vous ne vous en souvenez pas, vous pouvez le déduire en extrapolant à partir de ce qui précède).
Pendant que vous y réfléchissez, voici trois petits problèmes liés à la sixième opération :
Quel est le plus grand, la cinquième racine de 5 ou la racine carrée de 2 ?
Quel est le plus grand, la quatrième racine de 4 ou la septième racine de 7 ?
Quel est le plus grand, √7 + √10 ou √3 + √19 ?
Dans les trois cas, il s’agit de trouver mentalement la solution (ou, si l’on ne peut se passer de papier et de crayon, de n’effectuer que des opérations arithmétiques très simples).
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