Les théorèmes qui sous-tendent la conception aéronautique moderne | Café et théorèmes | Science

L’aéronautique moderne a radicalement transformé notre façon de vivre et de communiquer avec le reste du monde. Les mathématiques ont été le moteur silencieux qui propulse l’aéronautique depuis ses origines jusqu’aux sommets inimaginables de la modernité. Pour parvenir à une conception d’avion efficace et sûre, une connaissance approfondie de l’aérodynamique, de la traînée, de la stabilité et du contrôle est nécessaire, basée sur des principes mathématiques fondamentaux.

Par exemple, le célèbre Théorème d’Euler pour les polyèdres –proposés par le mathématicien suisse en 1750–, il est actuellement utilisé dans la conception de structures aéronautiques, comme les cadres et les cellules, pour optimiser leur rigidité et leur résistance. Le théorème établit une relation fondamentale entre les sommets, les arêtes et les faces de tout polyèdre convexe – plus précisément, le nombre de faces plus le nombre d’arêtes est égal au nombre de sommets moins deux. Eh bien, dans la construction d’avions légers et de drones, cette formule est utilisée pour calculer le nombre minimum d’éléments structurels – tels que des poutres et des panneaux – nécessaires pour maintenir la stabilité et l’intégrité de l’avion, en tenant compte des forces et des contraintes qui agissent. dessus. Il est également utile dans la conception de matériaux composites utilisés dans la construction aéronautique, tels que les panneaux. rayon de mielcar il permet de déterminer le nombre optimal de cellules hexagonales (faces) et les points de jonction (sommets) nécessaires pour équilibrer la résistance et la légèreté du matériau.

D’autre part, dans la conception des avions, il est également essentiel d’analyser l’écoulement de l’air autour de la structure, notamment le calcul de la forces aérodynamiques; la quatre principaux Ce sont la traînée, la portance, le poids et la poussée. Pour étudier en détail l’interaction de ces forces sur toute la surface du plan, le théorème de divergence (ou théorème de Gauss). Cela relie le flux d’un champ vectoriel – qui est la vitesse de l’air en chaque point autour de l’avion – à travers une surface fermée à la divergence du champ – qui indique comment la vitesse de l’air change en chaque point, si elle est positive. l’air entre à ce point, s’il est négatif, il sort.

De plus, pour piloter un avion, il est nécessaire d’étudier les commandes de vol et la réponse du dispositif à différentes forces et perturbations. Pour ce faire, on utilise entre autres des transformations intégrales qui permettent d’exprimer une fonction comme la somme d’autres fonctions plus gérables, telles que Transformation de Laplace ou celui de Fourier. La première permet d’analyser la dynamique de systèmes complexes, tels que les avions et les fusées, soumis à des forces qui varient dans le temps et ainsi comprendre leur comportement. Il est également utilisé pour modéliser les systèmes de contrôle qui régulent le mouvement et l’attitude d’un navire de manière efficace et précise. Et il est également appliqué dans la conception de systèmes de communication radio et de navigation, en utilisant des filtres et des systèmes de traitement du signal pour éliminer le bruit et améliorer la qualité de la communication.

La transformée de Fourier est utilisée pour décomposer un signal en ses composantes de fréquence, qui, dans l’industrie aéronautique, est appliquée dans le traitement des signaux générés par les systèmes de navigation, les systèmes de communication et les capteurs embarqués, facilitant la détection du bruit et des interférences, et améliorer la qualité du signal. D’autre part, il est utilisé pour analyser les vibrations – causées par les moteurs, les turbulences et les changements des conditions de vol – et les décomposer en leurs composantes de fréquence, ce qui est essentiel dans la conception de systèmes d’amortissement garantissant l’intégrité structurelle.

Il est également important d’analyser les risques et d’évaluer les systèmes de sécurité des vols, pour lesquels Théorème de Bayesun résultat fondamental de la théorie des probabilités proposée il y a plus de 250 ans, qui indique comment mise à jour la probabilité d’un événement, après avoir connu de nouvelles données pertinentes pour le phénomène étudié. Par exemple, ce théorème est appliqué à l’analyse des données sur les accidents d’avion et à l’évaluation des facteurs contributifs, tels que la météo, la maintenance et l’erreur humaine, pour améliorer la sécurité des futurs vols. Également pour traiter les alertes des systèmes de détection de pannes en temps réel des avions modernes, par exemple pour évaluer la probabilité qu’une alerte système soit un faux positif ou une indication réelle d’un problème. Cela évite les alarmes inutiles qui pourraient distraire les pilotes, tout en garantissant que les véritables alertes ne soient pas négligées. Ainsi, il est possible d’estimer la probabilité de pannes et d’évaluer les performances des systèmes électroniques, améliorant ainsi la sécurité et la fiabilité des avions.

Les mathématiques se situent également à la frontière technologique de l’industrie aérospatiale. L’un des concepts fondamentaux dans le développement des avions commerciaux hypersoniques est le Transformation de Prandtl-Glauert. Celui-ci établit qu’à des vitesses proches de la vitesse du son, les effets d’intelligibilité de l’air deviennent significatifs et doivent être pris en compte dans les calculs de traînée et de portance de l’avion, ce qui, dans les calculs de vitesses normales, ne le fait pas. est fait. Sans aucun doute, dans les progrès futurs que connaîtra l’aéronautique, les mathématiques seront un outil fondamental.

Yoshua Díaz Interian est chercheur prédoctoral dans le Institut National Polytechnique (Mexique).

Agate Timón García-Longoria est coordinateur du Unité de Culture Mathématique de l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT).

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres aspects sociaux. et expressions culturelles et rappelons-nous ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes. »

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