2024-09-14 11:02:19
Source des images, Caroline Souza/BBC
- Auteur, BBC News Monde
- Titre de l’auteur, En écrivant
Les mathématiques pourraient-elles expliquer le sens de la vie, de l’univers et de tout le reste ?
Qui sait, mais ça vaut toujours la peine d’essayer.
L’une des tentatives pour démontrer la probabilité de quelque chose d’aussi déconcertant que le début de tout a été avec quelque chose qui est représenté comme vous le voyez dans l’image ci-dessus.
Avec ∑, ∞ et plusieurs x, cela peut être un peu intimidant.
Mais tout cela peut être représenté d’une autre manière : 1 − 1 + 1 − 1 + …
Ce sont des opérations simples mais si on les répète à l’infini, elles deviennent une somme qui occupe les plus grands mathématiciens depuis le XVIIIe siècle.
La grande question était : quel est le résultat de cette somme infinie ?
Une réponse intuitivement évidente est qu’il n’y a pas de réponse : si cela continue indéfiniment, cela oscillera entre 0 et 1 sans jamais s’arrêter à une seule valeur.
Cependant, ce n’est là qu’une des quatre options envisagées au fil du temps.
Et peut-être la plus surprenante est celle qui a le plus convaincu le premier mathématicien qui a attiré l’attention sur cette énigme connue sous le nom de La série Grandi.
L’instigateur
Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) était un prêtre, philosophe, mathématicien et ingénieur né à Crémone, aujourd’hui en Italie.
Son intérêt pour les mathématiques a mis du temps à émerger, mais avec son premier livre “Divination géométrique des problèmes de Vivian“, publié en 1699, acquis une reconnaissance au pays et dans d’autres pays.
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Sa réputation le conduira à devenir en 1707 le mathématicien de la cour du grand-duc de Toscane, Cosme III de Médicis, et à ce titre il fut en charge d’importants projets d’ingénierie, dont le drainage de la vallée de Chianna.
Il a également collaboré à la publication de la première édition des œuvres de Galileo Galilei (1718), publié une version italienne des « Éléments » d’Euclide (1731), conseillé le pape Clément par Gottfried Leibniz sur le calcul.
Egalement admiré à l’étranger, il devient membre de la prestigieuse Royal Society de Londres en 1709, après qu’Isaac Newton ait publié ses travaux sur la théorie de la musique.
L’une de ses œuvres les plus admirées était son étude de la rose polaire, une famille de fleurs courbées ressemblant à des fleurs, qu’il nomma rhodoneas (du grec rhodonrose), dans son livre “Flores géométriques” (1725).
Mais c’est une autre de ses œuvres qui suscita non seulement l’intérêt de ses pairs mais aussi une vive controverse. autour de la série qui porte son nom.
0, 1, 1/2
Le livre, publié en 1703 et intitulé « Quadrature du cercle et de l’hyperbole », contenait un résultat qui attira beaucoup d’attention.
Grandi avait étudié cette somme infinie de 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
Et il avait observé que l’ajout de parenthèses conduisait à des résultats différents.
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)… transformé en 0 + 0 + 0…, qui est clairement égal à 0.
Mais si c’était écrit ainsi : 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)… alors la somme devenait 1 + 0 + 0 + 0…, j’en donnerais 1.
C’était en soi surprenant.
Plus encore, il affirmait que la somme d’une infinité de 0 est égal à 1/2.
Grandi a préféré expliquer ce résultat par une parabole dans lequel il imaginait deux frères héritant d’un joyau précieux de leurs parents.
Il leur était interdit de le vendre, et le couper en deux ruinerait sa valeur.
Les frères ont convenu qu’ils alterneraient la propriété de la pierre précieuse, en l’échangeant chaque jour de l’An.
En supposant que l’accord se poursuive indéfiniment, alors, du point de vue de chaque frère, la propriété de la gemme peut être représentée par la série
1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
Ainsi, chaque frère possède la gemme la moitié du temps, donc la valeur de cette série serait de 1/2.
Vous pourriez être surpris, mais Plusieurs mathématiciens éminents de l’époque s’accordaient sur le fait que telle était la réponse..
Le célèbre Leibniz est arrivé à la même conclusion par d’autres méthodes et a déclaré que 1/2 était la réponse qui lui semblait correcte, tout en reconnaissant que son argument était plus « métaphysique que mathématique ».
Le Suisse Leonhard Euler, l’un des mathématiciens les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps, a fait ses propres calculs et écrit en 1760:
“Il ne fait aucun doute qu’en effet les séries 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. et la fraction 1/2 sont des quantités équivalentes et qu’il est toujours permis de substituer l’une à l’autre sans erreur. “.
Comme eux, d’autres mathématiciens à travers l’Europe ont discuté des séries infinies et sont parvenus à leurs propres conclusions.
Mais il y en avait un en particulier qui n’était pas très satisfait des idées de Grandi.
De rien à tout
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Alessandro Marchetti (1633 – 1714) était professeur de mathématiques à l’Université de Pise et n’aimait pas la renommée internationale de Grandi.
Voulant le discréditer, il critique durement son livre.
En réponse, Grandi publia une deuxième édition de « Quadrature… » en 1710.
Mais cette fois, il a été autorisé à inclure un commentaire selon lequel les censeurs avaient exigé la suppression de la version précédente, une condition à laquelle il avait accepté à contrecœur.
C’était une déclaration encore plus étonnante que les résultats qu’il avait obtenus.
Sa réflexion était que si en ajoutant des parenthèses à l’expression 1 − 1 + 1 − 1 + · · · de différentes manières, il pouvait obtenir 1 ou 0, ” alors l’idée de création à partir de rien C’était parfaitement plausible.”.
La Création à partir de rien C’est une création à partir de rien.
De plus, si une quantité finie pouvait être obtenue à partir d’une somme de zéros infiniment longue, il fallait “reconnaissez cette puissance infinie“, une force qui même “En multipliant ce qui en soi n’est rien, il le transforme en quelque chose, de même qu’en divisant une grandeur finie, il la force à dégénérer en rien.
Et ça avait été “par la puissance infinie du Dieu Créateur que toutes choses ont été faites à partir de rien et que toutes choses peuvent être réduites à néant“.
Ainsi, Grandi semblait avoir atteint une preuve mathématique que Dieu avait tout créé à partir de rien.
Bien entendu, cela n’a fait qu’attiser les flammes : Marchetti publia alors une attaque contre cette deuxième édition en 1711 à laquelle Grandi répondit par un autre article en 1712.
La controverse se poursuivit jusqu’à la mort de Marchetti en 1714.
L’intérêt pour la série de Grandi persiste cependant.
Bien que ses arguments ne résistent pas à l’examen mathématique moderne, il existe un cadre pour les sommes infinies dans lequel la série de Grandi est égale à 1/2.
Il est connu sous le nom de Cesàro sum, du nom du mathématicien italien Ernesto Cesàro de la fin du XIXe siècle.
Cependant, selon plusieurs sources, l’opinion générale des mathématiciens aujourd’hui est que la valeur de la série de Grandi n’est ni 1, ni 0, ni 1/2 : le résultat de cette somme infinie est nul.
Mais s’il y en avait, ce serait 1/2.
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