Mathématiques : La lenteur des photons | Le jeu des sciences

Dans notre expérience de la semaine dernière, il est évident qu’il est conseillé de choisir les sacs B1 et B2, car dans ceux-ci la probabilité de tirer une boule blanche est respectivement de 4/7 et 5/14, tandis que dans les sacs A1 et A2 elle est 6/11 et 3/9 = 1/3, légèrement moins dans les deux cas. Cependant, lorsque l’on rassemble les boules dans les sacs A et B, dans le premier la probabilité de tirer une boule blanche est de 9/20 et dans le second de 9/21, donc maintenant, et contre-intuitivement, il est pratique de choisir le sac A. C’est pourquoi l’effet Yule-Simpson est aussi appelé « paradoxe de la fusion », car lorsque deux options favorables se combinent, la somme devient défavorable.

Mes lecteurs réguliers se souviennent peut-être de l’énigme des chocolats paradoxaux, publiée il y a exactement huit ans dans le numéro « Chocolats empoisonnés » (11 6 2015) et qui avait à l’époque acquis une certaine popularité sur les réseaux sociaux ; Eh bien, même si nous ne l’avons pas nommé à l’époque, c’est un exemple clair de l’effet Yule-Simpson.

Concernant le cas de discrimination présumée à l’Université de Californie, un examen détaillé des candidatures a révélé qu’en général, les femmes avaient postulé à des cours de troisième cycle plus difficiles, dans lesquels le pourcentage d’admissions était plus faible tant pour les hommes que pour les femmes, ce qui a expliqué le résultat apparemment discriminatoire. L’effet Yule-Simpson fonctionne dans les deux sens : en rassemblant, comme dans le cas des boules et des chocolats, et en décomposant, comme dans le cas d’une fausse discrimination (c’est pourquoi on l’appelle aussi le « paradoxe du renversement »).

Les photons ivres

Comme nous l’avons vu à plusieurs reprises, le calcul de probabilités et de processus aléatoires donne fréquemment lieu à des résultats paradoxaux ou contre-intuitifs. Et l’une des plus surprenantes et des moins connues se déroule à l’intérieur de notre Soleil.

Si l’on remonte un peu moins dans le temps que dans le cas des chocolats, il y a cinq ans, dans l’épisode « La promenade de l’ivrogne » (14 12 2018), nous avons vu que la marche erratique d’un ivrogne est généralement utilisée comme modèle de les processus aléatoires les plus variés. Imaginons le célèbre ivrogne accroché à un lampadaire qui, tout à coup, décide de marcher et fait des pas d’un mètre (pour simplifier, on choisira un buveur aux longues jambes). S’il marchait en ligne droite, après avoir fait 100 pas, il se serait éloigné de 100 mètres du lampadaire ; mais si après chaque pas il change au hasard la direction de son mouvement, comme c’est typique de son état lamentable, il est facile de démontrer qu’il est très probable qu’il ne s’éloignera que d’une dizaine de mètres : après n mouvements unitaires, un mouvement aléatoire le mobile sur un plan se déplace s’éloigne du point de départ, en moyenne, √n unités.

Il faut environ 8 minutes à la lumière du soleil pour parcourir les 150 millions de kilomètres entre la Terre et le Soleil ; mais les photons qui se forment à l’intérieur de notre étoile mettent un peu plus de temps à sortir dans l’espace. Si un photon partant du centre du Soleil le traversait en ligne droite, il lui faudrait un peu plus de deux secondes pour parcourir les 700 000 kilomètres du rayon solaire ; mais le photon entre continuellement en collision avec des particules qui le dévient, et c’est comme un ivrogne faisant des pas aléatoires d’un centimètre ; Par conséquent, il faut beaucoup de temps aux photons étroitement emballés pour quitter le Soleil avant de pouvoir se lancer dans l’espace à 300 000 kilomètres par seconde. Combien de temps faut-il, en moyenne, aux photons « ivres » pour atteindre la surface solaire ?

(Sans vouloir envahir le terrain interdisciplinaire de Montero Glez, je soulignerai que le titre de cet article est un hommage à l’excellent recueil de poèmes de Julio Llamazares La lenteur des bœufs. Comme les photons, les bœufs peuvent être très rapides – jusqu’à 60 kilomètres par heure – ou se déplacer paisiblement et lentement.

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