Polygones sacrés et étoiles maudites | Le jeu des sciences

Comme nous l’avons vu la semaine dernière, les centres des cercles de rayons 1, 2 et 3 tangents entre eux sont les sommets d’un triangle rectangle. Et pas n’importe lequel, mais celui des côtés 3, 4 et 5, nul autre que le triangle sacré des Égyptiens, qui savaient que l’angle opposé au côté le plus long de ce triangle était droit, même s’il n’est pas sûr qu’ils aient généralisé. ce résultat à tous les triangles dont les côtés satisfont à la relation a² = b² + c² (c’est-à-dire qu’ils connaissaient le théorème de Pythagore).

Comme le souligne Salva Fuster : « Pour les cercles tangents entre eux de rayons 1, 2 et 3, une fois leurs centres tracés formant un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, il est facile de voir que le rayon du cercle tangent extérieur à ces trois-là. Il sera 6, et que son centre se trouvera précisément au point qui formerait un rectangle avec les trois autres centres. (Parce que?).

Trouver le rayon du cercle tangent intérieur par des méthodes géométriques n’est pas si simple. On peut recourir à la formule :

Q² + R² + S² + T² = 1/2 (Q + R+ S + T)²

Mais, comme nous l’avons vu, les calculs sont longs et fastidieux, il est donc pratique d’utiliser une autre formule qui nous donne directement T :

T = Q + R + S + 2√(QR + QS + RS)

T = 1 + 1/2 + 1/3 + 2√(1/2 + 1/3 + 1/6) = 11/6 + 2 = 23/6

Par conséquent, le rayon du cercle tangent intérieur sera 1/T = 6/23

Si on applique la valeur négative de la racine :

T = 11/6 – 2 = –1/6

Ce qui correspond au rayon du cercle tangent extérieur, qui comme nous l’avons vu mesure 6 unités, en considérant sa courbure négative (dans le cas du cercle tangent intérieur les quatre cercles « s’embrassent » avec leurs parties convexes, tandis que le cercle tangent extérieur embrasse les trois autres avec leur partie concave).

Du triangle sacré au pentacle diabolique

Le triangle d’or des Égyptiens n’est pas le seul polygone sacré, doré, mystique… ou maudit. Sans sortir du cadre des triangles, le triangle équilatéral serait le triangle sacré par excellence, puisqu’il représente Dieu lui-même (la Sainte Trinité), et pas seulement pour le christianisme : pour l’hindouisme il est aussi l’emblème de la triade divine : Brahma, Vishnu et Shiva.

Parmi les quadrilatères, se distingue le rectangle d’or, dont les côtés sont dans la -divine- proportion 1:1,618 (vous souvenez-vous pourquoi ou pouvez-vous le déduire ?). Le folio familier DIN A4, mesurant 210 x 297 mm, n’est pas tout à fait doré, mais il possède une propriété géométrique intéressante qui le rend très spécial (lequel est-il ?). Un autre rectangle omniprésent est le domino ou tatami, avec des côtés dans la proportion 1:2, que l’on retrouve fréquemment dans les briques et les carreaux, en raison de l’avantage de pouvoir associer deux côtés plus petits avec un plus grand pour construire des murs ou des sols carrelés.

Dans le cas du pentagone régulier, ce sont ses diagonales qui déterminent la figure sacrée : le pentacle, pentagramme ou pentalphe, l’étoile à cinq branches vénérée par les Pythagoriciens. Entre autres subtilités géométriques, la divine proportion susmentionnée se niche dans l’étoile pentagonale. (Peux-tu le trouver?)

Si nous dessinons les diagonales du pentagone intérieur du pentacle, nous en obtenons une autre, mais inversée, une inversion qui n’est pas seulement spatiale, puisque le pentacle à l’envers est un symbole diabolique, dont la malédiction vous atteindra si vous ne déterminez pas la proportion entre l’aire du pentacle et celle de son antipentacle interne. Ou si vous ne les dessinez pas correctement, pour lequel il faut commencer par dessiner un pentagone régulier avec une règle (non graduée) et un compas.

Dans le cas de l’hexagone régulier, la construction est très simple, puisque le côté de l’hexagone est égal au rayon du cercle circonscrit, et il est tout aussi simple de construire un triangle équilatéral ou un carré ; mais dans le cas du pentagone cela vous coûtera un peu plus cher. Si vous réussissez, essayez d’autres polygones réguliers : octogone, ennéagone, décagone… jusqu’à atteindre l’insaisissable heptadécagone (polygone à 17 côtés). Rassurez-vous, Gauss l’a eu alors qu’il n’avait que 19 ans.

Vous pouvez suivre MATÉRIEL dans Facebook, X e Instagramcliquez ici pour recevoir notre newsletter hebdomadaire.