Problème mathématique : l’ascenseur de Gamow | Le jeu des sciences

Dans l’un de ses merveilleux livres sur les mathématiques récréatives, Martin Gardner commente que, tout comme les trains, les avions, les bateaux, les automobiles et autres moyens de transport apparaissent dans de nombreux problèmes, il semblerait que les ascenseurs aient été oubliés par les amateurs d’énigmes logiques. Cela ne semble pas être le cas de mes lecteurs avisés, qui continuent de s’interroger sur un problème soulevé il y a plusieurs semaines lors de la livraison. Ascenseurs problématiques. Le problème en question est le suivant, et en plus de trouver le plus petit nombre d’ascenseurs, la situation se prête à soulever d’autres questions intéressantes (voir commentaires de la semaine dernière) :

Dans un immeuble de dix étages (rez-de-chaussée compris), il y a plusieurs ascenseurs, chacun s’arrêtant au rez-de-chaussée, au dernier étage et à quatre étages intermédiaires. Quel est le plus petit nombre d’ascenseurs qui permettent de passer directement d’un étage à un autre, sans avoir à changer d’ascenseur ?

Le paradoxe de l’ascenseur

George Gamow, père de la théorie du Big Bang, n’était pas non plus indifférent aux modestes ascenseurs, car dans son livre Puzzles-Mathématiquesécrit en collaboration avec son collègue Marvin Stern et publié en 1958, pose un « paradoxe de l’ascenseur » basé sur ses propres observations.

Gamow et Stern travaillaient dans le même immeuble de sept étages, Gamow au deuxième et Stern au sixième, et ils se rendaient visite assez fréquemment. Gamow remarqua que lorsqu’il allait voir Stern, cinq fois sur six, le premier ascenseur qui s’arrêtait à son étage tombait en panne. Et quand c’était Stern qui allait voir Gamow, cinq fois sur six le premier ascenseur qui s’arrêtait à son étage montait.

Dans le cas d’un seul ascenseur, il n’y a pas de mystère : Gamow avait cinq étages au-dessus et un en dessous, donc la probabilité que l’ascenseur arrive d’un étage supérieur était de 5/6. Et vice versa : Stern était un étage au-dessus et cinq en dessous, donc la probabilité que l’ascenseur l’atteigne depuis un étage inférieur était de 5/6. Mais que se passe-t-il s’il y a plus d’ascenseurs ? Et si le nombre d’ascenseurs (pensez à l’hôtel de Hilbert) tendait vers l’infini ? Un paradoxe qui se cache…

L’ascenseur comme comparaison informatique

Dans le troisième tome de L’art de la programmation informatiquele mathématicien américain Donald E. Knuth (qui a également analysé le paradoxe de Gamow) utilise un ascenseur comme modèle de classification informatique et pose des problèmes d’optimisation tels que les suivants :

Dans un immeuble de cinq étages avec un seul ascenseur pour deux personnes, il y a trois personnes à chaque étage, et toutes sauf une veulent aller à un autre étage. L’ascenseur commence au rez-de-chaussée (1) et charge et décharge les personnes jusqu’à ce que chacun soit là où il veut être, puis il retourne au rez-de-chaussée. En prenant comme unité la distance entre deux étages adjacents, on essaie de trouver le trajet minimum qui permet à chaque personne d’atteindre sa destination (ce qui équivaut à minimiser la distance parcourue, ou le temps mis si la vitesse de l’ascenseur est constante). Le schéma suivant indique à quel étage chacune des trois personnes de chaque étage souhaite se rendre (sauf une à l’étage 2 qui ne souhaite pas changer) :

5 : 1-2-3

4 : 1-3-5

3 : 4-5-5

2 : 1-2-4

1 : 2-3-4

L’ascenseur à balles

Et maintenant, pour briser la verticalité monotone des ascenseurs, une petite réflexion latérale :

Dans un gratte-ciel futuriste de 200 étages, il y a un ascenseur qui va directement du rez-de-chaussée au grenier, et sa vitesse augmente de 10 mètres par seconde chaque seconde jusqu’à atteindre un maximum à partir duquel, évidemment, il décélère jusqu’à s’arrêter au haut. Un visiteur arrivant au gratte-ciel demande à un autre :

-A quelle vitesse maximale l’ascenseur ira-t-il lors du passage au 100ème étage ?

“Je ne pense pas que je vais à la vitesse maximale en traversant cet étage”, répond l’autre.

La réponse est-elle raisonnable ?

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