Qu’est-ce qu’un ensemble ? | Le jeu des sciences

Bien que l’expression « sciences exactes » soit tombée en désuétude, on a tendance à penser que les concepts mathématiques et la terminologie qui leur correspond sont précis et immuables. N’utilisons-nous pas encore le théorème de Pythagore ou les postulats d’Euclide tels qu’ils ont été formulés il y a plus de deux mille ans ? Mais ce n’est pas toujours le cas et, en fait, l’un des aspects les plus intéressants et instructifs de l’histoire des sciences est la manière dont sont modifiés les noms et/ou définitions de certains objets mathématiques (c’est très significatif, dans ce domaine). sens, que la géométrie a commencé comme la « mesure de la terre », comme son nom l’indique). Selon les mots de l’enseignant Martin Gardner : « Habituellement, le processus est le suivant : les objets reçoivent un nom x et sont grossièrement définis, selon l’usage et l’intuition. Puis quelqu’un découvre un objet exceptionnel qui correspond à la définition, mais auquel personne ne pense en appelant un objet x. Une nouvelle définition plus précise est alors proposée, couvrant ou excluant ledit objet exceptionnel. La nouvelle définition reste en vigueur tant qu’aucune nouvelle exception n’apparaît, auquel cas la définition doit être révisée à nouveau, et ce processus peut se poursuivre indéfiniment » (Mosaïques de Penrose et trappes de chiffrement(1990).

Comme nous l’avons vu la semaine dernière, quelque chose d’aussi familier et apparemment simple qu’une courbe n’est pas facile à définir avec précision, et les nombreuses tentatives des lecteurs pour donner une définition univoque et complète en témoignent (voir les commentaires de Qu’est-ce qu’une courbe ?). En fait, comme l’a souligné Adelaida López, en mathématiques, nous ne parlons généralement pas de « seulement » courbes, car dans de nombreux cas, il est nécessaire de préciser à quel type ou concept de courbe nous faisons référence.

Et il va sans dire que les courbes ne sont pas un cas isolé. Des termes – et des concepts – aussi clairs en apparence que le nombre, l’ensemble, la dimension ou l’infini sont également insaisissables et peuvent donner lieu à des paradoxes troublants (comme vous le verrez si, à la suite d’Einstein, vous essayez de les expliquer à votre grand-mère, réels ou imaginaires).

Beaucoup et ensembles

Le paradoxe des sorites ou des piles, que nous avons traité à plusieurs reprises, est en grande partie dû à l’ambiguïté du terme lui-même, qui a à voir avec la quantité, mais n’est pas quantifiable, donc, à première vue, les ensembles, qui sont comme des tas d’abondance sans prétention, semblent insensibles aux paradoxes. Cependant, comme l’a démontré Bertrand Russell au début du XXe siècle (en développant une idée de Cantor lui-même, détail souvent omis), une notion simplement intuitive de l’ensemble (quel est le vôtre, lecteur avisé ?) conduit à des contradictions. comme ceci : appelons typiques les ensembles qui ne se contiennent pas et atypiques ceux qui se contiennent (par exemple, une botte/un lot de pois chiches n’est pas un pois chiche, alors qu’un ensemble/un lot de tas c’est beaucoup).

Quel sera l’ensemble des ensembles typiques, que nous appellerons T ? Si T est typique, il doit être inclus dans T, et donc il est inclus en lui-même, et donc il est atypique…

À peu près au même moment où Russell, avec son paradoxe du barbier (la version la plus populaire du paradoxe des ensembles typiques et atypiques), dynamitait le projet logiciste de Frege, les mathématiciens français Gaston Julia y Pierre Fatou Ils ont développé leur théorie sur l’itération de fonctions complexes, qui donne naissance à des ensembles « monstrueux » (lire fractales), comme celui de Julia elle-même ou du célèbre Mandelbrot, dont les représentations graphiques extrêmement complexes sont d’une beauté bouleversante. Mais c’est un autre article. Ou plusieurs.

Boules et cônes

Les lampes de poche projettent normalement un cône de lumière plus ou moins défini, et une conique est l’intersection d’un plan avec un cône, donc la boule n’est même pas nécessaire (voir le dernier paragraphe de la semaine dernière), comme vous le verrez facilement en vous concentrant sur un cône. mur à courte distance : de face un cercle de lumière se formera, en inclinant légèrement la lampe torche le cercle deviendra une ellipse, inclinez-le un peu plus et vous obtiendrez une parabole… Si vous introduisez une boule dans le cône de lumière, un cône d’ombre avec lequel vous pouvez obtenir des cônes « chinois » plus définis.

Et en parlant de balles et de cônes, l’image typique de l’œil de faucon du tennis ressemble à une ellipse. Ça l’est? Parce que? Ne devrait-il pas s’agir d’un cercle, puisqu’il représente l’intersection d’une sphère (la balle) et d’un plan (la piste) ?

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