René Thom, le mathématicien qui préférait la compréhension à la rigueur | Café et théorèmes | Science

En mai 1940, alors que l’Allemagne envahissait la France, René Thom, 16 ans, terminait ses études secondaires à Montbéliard, sa ville natale. Six ans plus tard – après avoir terminé sa carrière à la prestigieuse Ecole Normale Supérieure, où il fut refusé dès sa première tentative d’entrée – il poursuivait un doctorat en mathématiques à l’Université de Strasbourg. Il y rencontre plusieurs membres du groupe Bourbaki, puis se plonge dans leur tâche de réécriture des mathématiques modernes. Et c’est là qu’il commença également ses travaux en géométrie qui le mèneront à remporter la médaille Fields une décennie plus tard.

Ses travaux nous ont permis de classer efficacement les différents types de formes géométriques qui existent. Nous pouvons expliquer la classification en mathématiques par analogie, comme le ferait Thom lui-même, avec la classification taxonomique en biologie. Chaque forme géométrique, comme chaque animal, appartient à une espèce, et celles-ci sont regroupées en genres, eux-mêmes regroupés en familles. Plus haut, nous avons l’ordre, l’avantage, la classe et le royaume. En biologie, pour réaliser cette classification, certains caractères sont identifiés – comme les poils ou les écailles – qui servent ensuite à distinguer les animaux de différents groupes. En mathématiques, il s’agit de faire quelque chose de similaire.

En 1854 Bernhard Riemann défini avec une certaine rigueur la notion d’espèce dans le contexte de la géométrie, que nous appelons aujourd’hui « variété riemannienne ». Au cours des 100 années suivantes, plusieurs mathématiciens découvrirent certains caractères géométriques permettant de distinguer différentes espèces. Par exemple, le Caractéristique d’Euler ou la Numéros Betti.

De même, d’autres concepts géométriques ont été introduits analogue au genre o à la famille. Cependant, de la même manière que nous sommes très loin de connaître toutes les espèces ou genres biologiques qui existent sur terre, il n’était pas prévu de connaître toutes les espèces ou genres géométriques ; il y en avait trop. Tout change quand, au début des années 1950, René Thom introduit une classification analogue à celle du royaume, bien plus haute dans la hiérarchie taxonomique.

Thom a établi que deux formes géométriques appartenaient au même domaine géométrique si l’une pouvait être transformée en l’autre à l’aide d’un certain type de processus. Par exemple, lorsqu’une cellule est subdivisée, sa membrane cellulaire commence par avoir la forme d’une sphère, mais après la subdivision, elle prend la forme de deux sphères. Le processus géométrique par lequel la première sphère devient les deux autres s’appelle cobordisme et garde les objets dans le même domaine. La figure du taureau appartient également au même domaine que la figure de la sphère, bien que le procédé géométrique à utiliser soit différent de celui mentionné.

Non content de cela, Thom a trouvé et classé tous les règnes géométriques possibles. Cet exploit, sans précédent dans l’histoire de la géométrie, a donné lieu à une révolution qui se poursuit encore aujourd’hui. L’impact fut tel que dans les trois éditions suivantes de la médaille Fields, un géomètre dont le travail était basé sur la nouvelle classification de Thom gagna toujours : John Milnor (en 1962), Stephen Smale (1966) et Sergueï Novikov (1970).

Peu de temps après avoir obtenu la médaille Fields, Thom a accepté un poste permanent à l’Institut français des hautes études scientifiques, où il a créé une nouvelle fondation mathématique pour la biologie ou la sémiotique : théorie des catastrophes. Avec cela, il entendait aborder les processus dans lesquels la continuité est rompue, comme cela se produit lors du développement d’un embryon.

Dans son autobiographie, Thom relie son changement radical de sujet de recherche à sa rencontre avec le mathématicien Alexandre Grothendieck : « Sa supériorité technique était écrasante. Son séminaire attirait tous les mathématiciens de Paris, alors que moi, je n’avais rien de nouveau à proposer. Cela m’a fait abandonner le monde des mathématiques pures et aborder des notions plus générales, comme la théorie de la morphogenèse, un sujet qui m’intéressait davantage et m’a conduit vers une forme très générale de biologie philosophique.

Ils sont point de vue philosophique, disciple d’Héraclite et d’Aristote, considérait que l’obsession de l’exactitude était un obstacle à la compréhension. « Si je devais choisir entre rigueur et compréhension, je choisirais sans doute cette dernière », a-t-il déclaré. Il préférait les explications qualitatives aux explications quantitatives et se montrait très critique à l’égard des mathématiques modernes – promues notamment par ses anciens collègues de Bourbaki – qui, de son point de vue, ne reconnaissaient que l’algèbre comme source de rigueur – alors que Thom préférait la géométrie -.

Paradoxalement, la plus grande contribution de Thom – sa classification des formes géométriques – a contribué à réduire la géométrie à l’algèbre, comme l’observait avec acidité le mathématicien français et co-fondateur de Bourbaki Jean Dieudonné dans une lettre ouverte à Thom en 1972 : « C’est ironique ” Thom, qui a clairement une aversion pour l’algèbre, on se souviendra de son utilisation originale de celle-ci dans sa théorie du cobordisme.

Federico Cantero Morán Il est professeur à l’Université autonome de Madrid et membre de l’ICMAT.

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres aspects sociaux. et expressions culturelles et rappelons-nous ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes. »

Rédaction et coordination : Agate A. Gouvernail G Longoria (ICMAT).

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