roue d’Aristote | Le jeu des sciences

Concernant le phénomène déconcertant des roues qui dans certains films semblent tourner à l’envers, évoqué la semaine dernière, voici ce que commente notre “utilisateur vedette” Rafael Granero :

Considérons une roue à 12 rayons, circonférence 60 cm. Considérez une caméra qui prend et projette « n » images par seconde. Pour n = 10, si la roue tourne vers la droite ou vers la gauche à 50 cm/s, l’image projetée par la caméra sera statique. Pour n = 10, si la roue tourne vers la droite à 40 cm/s, l’image projetée par la caméra paraîtra reculer (tourner vers la gauche) à 10 cm/s (voir nota bene). Pour n = 10, si la roue tourne vers la droite à 10 cm/s, l’image projetée par la caméra semblera avancer (tourner vers la droite) à 10 cm/s.

Pour n = 10, si la roue tourne vers la droite à 25 cm/s, l’image projetée par la caméra semblera reculer ou avancer ou faire les deux alternativement à 25 cm/s. Nota bene : le rayon 5 en 0″ sera en 5 ; le rayon 0 après 1/10″ sera à 4 (il aura avancé de 4 cm) ; rayon 55, passé 2/10″ sera à 3 ; le rayon 50, passé 3/10″, sera à 2 ; le rayon 45, passé 4/10″, sera à 1 ; le rayon 40, après 5/10″, sera à 0. L’interprétation mentale de la projection est que le rayon 5 (et 10, 15, 20, 25…) a parcouru 5 cm vers la gauche en 1/2″.

roues de problème

Vous ne pouvez pas parler de roues paradoxales, comme celles qui dans certains films semblent tourner à l’envers, sans mentionner le paradoxe de la roue d’Aristote. En définitive, on parle d’arithmétique modulaire, l’un des grands apports de Gauss aux mathématiques (voir L’arithmétique de l’horloge, 9 6 2023) : ce qui compte, c’est le reste du rapport entre la vitesse de prise de vue/projection du film et la vitesse de la roue.

Sur la figure on voit, schématiquement, deux roues concentriques soudées ensemble (ou on peut aussi penser à un pneu et sa jante). En roulant, en faisant un tour complet, de la position gauche à la position droite, chaque point de la circonférence de la plus grande roue aura été sur la ligne pointillée supérieure, dont la longueur est égale à celle de la circonférence. En même temps, chaque point de la circonférence de la plus petite roue aura été sur la ligne pointillée inférieure, et, comme les deux lignes sont égales, les deux circonférences ont la même longueur, ce qui est évidemment faux. Où est le sophisme ?

Galilée, Descartes et Fermat, entre autres, ont étudié ce paradoxe subtil, dont la résolution satisfaisante a nécessité d’attendre les nouveaux développements des mathématiques apportés par le calcul infinitésimal et les nombres transfinis de Cantor. Et en parlant des points de contact d’un cercle en rotation, voici un curieux problème qui est apparu dans Le mensuel mathématique américain en 1960, au plus fort de l’engouement pour le hula-hop :

Une fille dont la taille est une circonférence parfaite roule un cerceau dont le diamètre est le double de celui de sa taille. Lorsque la pointe de l’anneau qui est en contact avec le nombril de la fille revient en position onphalique, quelle distance aura-t-elle parcourue ? Et enfin, une énigme du physicien américain Stephen Barr, citée par Martin Gardner dans un de ses merveilleux livres sur les mathématiques récréatives : Quel type de transport ou de véhicule a huit roues et ne pollue pas l’atmosphère ?

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