Sur la solution possible de Per Enflo du problème de sous-espace invariant pour les espaces de Hilbert

Il problème de sous-espace invariant a été formulé c. 1930 dans les espaces de Banach (espaces vectoriels normés complets). Il affirme que tout opérateur linéaire borné J dans un espace de Banach ???? séparable a un sous-espace invariant non trivial ???? (J ???? ⊂ ????). En 1975, le mathématicien suédois Per Enflo a prouvé que cette conjecture est fausse (il a trouvé un contre-exemple), ce qu’il a annoncé en 1976. Depuis lors, elle s’appelle problème de sous-espace invariant à la version de cette conjecture dans les espaces de Hilbert (espaces vectoriels avec produits scalaires complets). Enflo (79 ans) vient de publier une possible démo sur arXiv : pour tous les opérateurs J Sur un espace de Hilbert séparable ℋ, on pourrait construire une séquence de vecteurs qui converge vers un vecteur non cyclique pour J; l’espace vectoriel fermé généré par son orbite serait le sous-espace invariant pour J. La démo de seulement 13 pages est lourde et difficile à comprendre. L’idée clé semble être que la séquence construite ne converge pas toujours, mais cette obstruction peut être surmontée en “sautant” pour la redémarrer et continuer. Je ne suis pas un expert en analyse fonctionnelle, mais je ne sais pas si l’idée de “saut” fonctionne toujours ou si la convergence peut être garantie après un nombre fini de redémarrages. Il faudra attendre le verdict des experts. Mais, à mon avis, la preuve a toutes les caractéristiques d’être incorrecte.

La notion d’espace de Hilbert généralise la notion d’espace euclidien à la dimension infinie. L’espace de Hilbert ℋ est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire de vecteurs 〈 X, y 〉, ∀ x, y ∈ ℋ , qui détermine une taille (norme) pour chaque vecteur ‖ X ‖² = 〈 x, x 〉, ∀ X ∈ ℋ , et un angle je entre chaque paire de vecteurs 〈 X, y 〉 = ‖ X ‖ ‖ y ‖ car je∀ X, y ∈ ℋ . De plus, ℋ doit être complet, c’est-à-dire que toute suite de Cauchy {X_n} tel que ‖ X_n − X_m ‖ < ε debe ser convergente. Todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach, pero no al revés. Los espacios de Hilbert son los espacios vectoriales más usados ​​en física y en ingeniería gracias a la noción de ortogonalidad (dos vectores son ortogonales cuando 〈 X, y 〉 = 0). Ces espaces sont dits séparables s’ils contiennent un sous-ensemble dénombrable de vecteurs qui est dense ; c’est-à-dire tel qu’il permette d’approximer n’importe quel vecteur dudit espace.

Les opérateurs linéaires vérifient que T (α x + β y) = α T (x) + β T (y) ; la notion de norme peut être étendue à ces opérateurs, ‖ J ‖ = souper ‖ J X ‖, ∀ ‖ X ‖ = 1. Un opérateur linéaire borné (de norme finie) est continu et vice versa (rappelons que tout espace vectoriel est un espace topologique avec une notion de continuité). Un sous-espace ???? ⊂ ℋ est invariant pour un opérateur J si T ???? ⊂ ???? (des exemples triviaux sont l’ensemble vide et ℋ lui-même). Un opérateur borné T sur un espace de Hilbert ℋ a un vecteur cyclique X si son orbite, l’ensemble des vecteurs {JⁿX: n≥0}, est dense en ℋ ; Celui qui a un vecteur cyclique est appelé un opérateur cyclique. l’hypothèse vecteur non cyclique limite de la construction principale d’Enflo aurait associé une orbite non dense en ℋ et serait par construction un invariant spatial non trivial pour ℋ.

Le problème de sous-espace invariant original se demande si chaque opérateur linéaire borné sur un espace ???? Banach séparable (général) a un sous-espace invariant (non trivial) ; Le contre-exemple d’Enflo était le premier de beaucoup d’autres qui prouvent que ce n’est pas vrai, en général. Il convient de noter qu’il existe des espaces de Banach concrets dans lesquels tous leurs opérateurs linéaires bornés ont des sous-espaces invariants non triviaux. Par conséquent, il a été conjecturé que dans chaque espace de Hilbert séparable ℋ, tous les opérateurs linéaires bornés ont des sous-espaces invariants. Du point de vue des applications, une preuve constructive de cette conjecture serait d’une importance primordiale ; peut-être pour cette raison Enflo propose une démonstration (supposée) constructive. Malheureusement, sa “construction principale” du sous-espace invariant n’est pas entièrement claire. Ses “sauts dans le vide” ont l’air très mauvais. Mais si un analyste fonctionnel pouvait s’inspirer de son argumentation et parvenir à une preuve, ce serait l’un des résultats mathématiques les plus pertinents de l’analyse fonctionnelle de ce siècle. De plus, ce serait un résultat avec un grand nombre d’applications en physique et en ingénierie. J’aimerais que nous soyons sur le point d’obtenir une démonstration aussi constructive.

El artículo es Per H. Enflo, «Sur le problème de sous-espace invariant dans les espaces de Hilbert», arXiv: 2305.15442 [math.FA] (24 mai 2023), doi : https://doi.org/10.48550/arXiv.2305.15442. Incidemment, l’article de contre-exemple d’Enflo de 1975 a été soumis pour publication en 1981 ; son examen par les pairs a été un cauchemar, compte tenu de sa complexité et des nombreuses petites erreurs dans la preuve ; a été publié en 1987 après cinq ans d’examen par les pairs « éternel » : Per Enflo, « On the invariant subspace problem for Banach spaces », Acta Mathematica 158 : 213-313 (1987), doi : https://doi.org/10.1007/BF02392260.

En 2013, deux mathématiciens espagnols ont affirmé avoir prouvé cette conjecture, Miguel Ángel Morales (^DiAmOnD^), “Eva Gallardo et Carl Cowen résolvent le problème du sous-espace invariant”, Gaussianos, 26 ene 2013; mais en réalité ils avaient montré autre chose, “J’ai trouvé une erreur dans les travaux de Carl Cowen et Eva Gallardo sur le problème du sous-espace invariant”, Gaussianos, 05 février 2013; qui a publié dans Carl C. Cowen, Eva A. Gallardo-Gutierrez, « Opérateurs universels de Rota et sous-espaces invariants dans les espaces de Hilbert », Journal of Functional Analysis 271 : 1130-1149 (1er septembre 2016), doi : https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.05.018.

Enflo est célèbre en mathématiques populaires pour cette photo de 1972. Dans ce document, Stanislaw Mazur (à gauche) présente Per Enflo (à droite) avec l’oie vivante promise pour résoudre un problème de livre écossais posé en 1936, le problème 153 sur les représentations de fonctions continues, également appelé le Problème d’oie de Mazur. Ce problème est lié à l’existence des bases dites de Schauder dans les espaces séparables de Banach. En 1955, Alexander Grothendieck a introduit la propriété dite d’approximation dans les espaces de Banach : si chaque espace de Banach avait la propriété d’approximation, alors chaque espace de Banach aurait une base de Schauder. En 1972, Enflo a construit un espace de Banach séparable qui n’a pas la propriété d’approximation et donc une base de Schauder. Le problème 153 a été résolu. Si cette anecdote vous intéresse, je vous recommande de profiter de la merveilleuse conférence de José A. Prado Bassas (Tito @Eliatron), « Le livre écossais », à Naukas Bilbao 2016 (Vidéo EiTB).

Les aguerris qui veulent approfondir le problème du sous-espace invariant peuvent profiter de nombreuses sources en espagnol (en particulier les projets de fin d’études et de master). Je recommande Marcos López García, « Le problème du sous-espace invariant », Miscelanea Matemática 58 : 111-124 (2014) [PDF]; Nadia Chinea Chinea, « Le problème du sous-espace invariant », Université de La Laguna (2017) [PDF]; Carlos Domingo, “Problème de sous-espace invariant”, Université de Barcelone (2011) [PDF]; Gloria Buriticá Borda, “Le problème du sous-espace invariant”, Universidad de los Andes (2011) [PDF]; entre autres.