Théorème de Varignon | Le jeu de la science

La démonstration du théorème de Viviani, dont nous avons parlé la semaine dernière en relation avec le point de Fermat / Torricelli, est aussi simple qu’élégante:

Être le triangle équilatéral ABC du côté unitaire et à l’intérieur de n’importe quel point P. rejoignant p avec les trois sommets du triangle et appelant M, Nyla ses distances sur les trois côtés, nous obtenons les triangles PAB, PAC et PBC, dont les zones sont, respectivement, m / 2, n / 2 yl / 2, dont la somme est la zone ABC, qui, en revanche, appelant la hauteur du triangle, est H / 2; Par conséquent, h = m + n + l.

Le parallèle Varignon

En ce qui concerne le théorème de Varignon, voici une démonstration “dans une ligne” que j’ai vu il y a quelques années sur l’excellent site Web gaussien:

Être le quadrilatère ABCD et E, F, G, H les points médians de ses côtés, qui déterminent le quadrilatère EFGH.

Si nous considérons que tous les segments sont des vecteurs (imaginez les flèches au-dessus de chaque paire de lettres), voici la démonstration en ligne:

Hg = hd + dg = 1/2 (ad + dc) = 1/2 ac = ef

Et de la même manière, il est démontré que He = GF, alors le quadrilatère EFGH est un parallélogramme, comme nous voulions le démontrer.

Notre commentateur habituel Francisco Montesinos vient dire la même chose: «Laissez ABCD être un quadrilatéral. Le PM (point médian) du segment AB est (A + B) / 2 et le PM de la MA est (A + D) / 2 et le vecteur se différencie les deux (BD) / 2, qui est le même vecteur qu’il est obtenu en soustrayant les points médians de CB et CD. De la même manière, il est démontré que les deux autres côtés qui rejoignent les PM correspondants sont également parallèles.

Et, en réalité, ces manifestations ingénieuses peuvent encore être abrégées un peu plus et sans autres ressources que celles de la géométrie la plus élémentaire. Comme?

Une autre propriété du parallélogramme de Varignon est que sa zone est moitié que le quadrilatère initial (à condition qu’il soit convexe ou concave, sans intersections). Et, en outre, le périmètre du parallélogramme Varignon est égal à la somme des diagonales du quadrilatère initial. Pouvez-vous le prouver?

Géométrie et papyroflexie

Dès le premier épisode de l’année, un beau «classique» a été en attente que je ne démissionne pas par inadvertance: pouvez-vous diviser un carré en 5 carrés égaux sans plus d’aide que celui d’une règle? Et si vous recourez à la papyroflexie, la règle n’est même pas nécessaire.

Et en parlant de papyroflexie, comment une feuille carrée de papier carré peut-elle être divisée en trois parties égales, sans règle ni boussole, uniquement par des plis adéquats?

Pour cela et d’autres problèmes papirroutexiques, il est intéressant de connaître le premier théorème de DO, qui dit:

Être un carré de sommets a, b, c, D. Si le carré se replie sur lui-même en portant le sommet au milieu du côté BC, alors le côté publicitaire se coupera vers le côté CD en un point g de telle sorte que la distance entre les entre C et G sont égaux aux deux tiers du côté du carré.

Le théorème reçoit son nom du mathématicien japonais Kazu Origamique.

Et en parlant de papyroflexie, sauriez-vous comment dessiner un nœud papillon en papier? Cela ne semble pas être un problème de mathématiques ou de logique, mais un test de mémoire visuelle, et pourtant …