Théorème de Viviani | Le jeu scientifique

Concernant le point de Fermat-Torricelli, notre commentateur régulier Salva Fuster déclare :

« Une construction simple qui permet de trouver le point de Fermat-Torricelli pour le cas d’un triangle dont le plus grand angle est inférieur à 120º consiste à tracer deux triangles équilatéraux (vers l’extérieur) sur n’importe quelle paire de côtés du triangle. Par la suite, nous joignons chacun des deux nouveaux sommets avec le sommet le plus éloigné du triangle d’origine. Les deux segments se croisent au point Fermat-Torricelli. Et il ajoute : « Je pense qu’une façon très intéressante de voir que le point FT est celui qui présente des angles de 120º entre le point et les sommets du triangle est la suivante :

—Nous traçons trois demi-lignes qui partent du même point et qui forment 120º entre elles.

—On couple les sommets du triangle que l’on veut (son plus grand angle ne doit pas dépasser 120º) pour qu’ils soient sur ces trois rayons.

— On trace à chaque sommet une perpendiculaire au rayon qui le contient, formant un triangle équilatéral.

—En tenant compte du théorème de Viviani, nous pouvons voir que tout autre point candidat de FT qui n’est pas l’origine des trois lignes de rayons aura une distance totale plus grande.”

Le théorème de Viviani, qui doit son nom au mathématicien et physicien italien Vincenzo Viviani (1622-1703), dit que la somme des distances d’un point intérieur à chacun des côtés d’un triangle équilatéral est égale à la hauteur du triangle ( Pouvez-vous penser à une démonstration simple ?).

Le théorème de Viviani peut être généralisé à tous les polygones équilatéraux et polygones équiangulaires : la somme des distances de tout point intérieur aux côtés d’un polygone équilatéral ou équiangulaire est constante.

Vincenzo Viviani est surtout connu parce qu’il fut un collaborateur et un confident de longue date de Galilée, dont il est l’auteur de la première biographie. Il fut également le premier à déterminer la vitesse du son et précéda Foucault de deux siècles dans la construction du pendule nommé d’après le physicien français.

La fenêtre de Viviani

Moins connu en dehors du domaine spécialisé est le problème architectural connu sous le nom de « fenêtre de Viviani », que le mathématicien florentin a posé à la fin du XVIIe siècle et qui a été abordé, entre autres, par Leibniz et Bernoulli. Elle consiste à ouvrir quatre fenêtres égales dans une coupole hémisphérique de manière à ce que la surface restante de la coupole soit quadrable (une figure est dite « équarrie » s’il est possible d’en obtenir, et par des méthodes géométriques, un carré qui a la même domaine, comme dans le cas bien connu – et impossible – de la quadrature du cercle). La solution est l’intersection du dôme avec un cylindre dont le rayon est la moitié de celui de la sphère (mais c’est un autre article).

L’artefact de Varignon

Concernant le point de Torricelli, Susana Luu commente :

” Outre l’arbre de Steiner, un problème que je ne connaissais pas, une autre généralisation évidente de ce problème est la suivante : étant donné n points, pas nécessairement trois, calculez un point tel que la somme des distances entre lui et les n points soit minimale. . J’ai rencontré ce problème il y a longtemps et j’ai beaucoup aimé une façon de calculer la solution : l’interpréter comme un problème de physique, comme l’artefact de Varignon.

Pouvez-vous penser à un moyen simple de transformer la détermination du point de Torricelli en un problème de physique ?

À propos (et à titre indicatif), Pierre Varignon (1654-1722) était un mathématicien et physicien français qui a apporté d’importantes contributions à la statique, et plus particulièrement aux conditions d’équilibre en trois dimensions. Il est également connu pour le théorème qui porte son nom, selon lequel les milieux des côtés de tout quadrilatère sont les sommets d’un parallélogramme (pouvez-vous le prouver ?).